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Differentialgleichung für eine bijektive Abbildung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: bijektive Abbildung, Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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Malou2016

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13:17 Uhr, 27.05.2020

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Zeigen sie, dass x:ℝ→ℝ,φ↦r(φ-sin(φ)) für festes r eine bijektive Abbildung definiert, womit φ (x)die Differentialgleichung
1=φ ´(x)r(1-cos( φ)) erfüllt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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13:39 Uhr, 27.05.2020

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Was ist r? Zahl? Funktion?
Malou2016

Malou2016 aktiv_icon

13:41 Uhr, 27.05.2020

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r ist eine feste Zahl.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:46 Uhr, 27.05.2020

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φ-sin(φ) ist monoton unbeschränkt steigend, daher bijektiv (kann über die Ableitung gezeigt werden). Multiplikation mit r ändert nichts daran (außer dem Fall r=0).
Weiter einfach die Ableitung der Umkehrfunktion nach der bekannten Formel berechnen.
Malou2016

Malou2016 aktiv_icon

14:14 Uhr, 27.05.2020

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Vielen Dank schonmal!
Aber wäre die Umkehrfunktion nicht irgendwas mit arcsin( φ)?
Wenn ich es richtig sehe passt das dann irgendwie nicht...
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 27.05.2020

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Du musst die Umkehrfunktion selbst nicht berechnen, nur die Ableitung. Das ist viel einfacher.
Malou2016

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14:50 Uhr, 27.05.2020

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Aber ich brauche doch die Ableitung der Umkehrfunktion. Wie soll ich die denn ohne die Umkehrfunktion zu kennen berechnen?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:09 Uhr, 27.05.2020

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Die Formel ist gʹ(y)=1/fʹ(x), wo y=f(x) und g die Umkehrfunktion für f:
www.frustfrei-lernen.de/mathematik/umkehrfunktion-ableiten.html
In deiner Notation ist es φʹ(x)=1/xʹ(φ).
Und xʹ(φ) kann man direkt berechnen: x(φ)=r(φ-sin(φ))=> xʹ(φ)=r(1-cos(φ)).
Also, φʹ(x)=1r(1-cos(φ)). Was auch zu zeigen war.
Wie du sieht, man muss φ(x) nicht berechnen.
Frage beantwortet
Malou2016

Malou2016 aktiv_icon

17:12 Uhr, 03.06.2020

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Danke!