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Differentialgleichung in Polarkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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08:17 Uhr, 20.01.2024

Hallo,

ich möchte ein Differentialgleichungssystem:

x' = - y + x \cdot sin (x^{2} + y^{2})

y' = x + y \cdot sin (x^{2} + y^{2})

in Polarkoordinaten umwandeln.

Ich weiß, dass

x = r \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ)

Und wenn ich beide ableite, dann bekomme ich auch die Variablen

x'

und

y'

und kann alles einsetzen.

Jetzt ist nur meine Frage, wenn ich alles einsetze, wie ordne ich dann meine neuen Gleichungen, bzw. muss ich nach irgendwas auflösen oder sortieren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

10:05 Uhr, 20.01.2024

Führe doch einfach mal diesen ersten Schritt durch.

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10:41 Uhr, 20.01.2024

Habe ich gemacht. Jetzt bekomme ich einfach zwei Gleichungen mit den verschiedenen Ausdrücken. Aber wie kann ich die DGL nun lösen?

HAL9000

10:47 Uhr, 20.01.2024

SCHREIB SIE HIER HIN!!!

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10:49 Uhr, 20.01.2024

r' \cdot cos φ - r \cdot sin φ \cdot φ' = - r \cdot sin φ + r \cdot cos φ \cdot r sin (r^{2})

r' \cdot sin φ - r \cdot cos φ \cdot φ' = - r \cdot cos φ + r \cdot sin φ \cdot r sin (r^{2})

HAL9000

10:51 Uhr, 20.01.2024

Ich sehe da zwei Vorzeichenfehler in der zweiten Gleichung, je einer auf der linken und rechten Seite.

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10:55 Uhr, 20.01.2024

Oh ja danke, jetzt heißen sie so:

r' \cdot cos φ - r \cdot sin φ \cdot φ' = - r \cdot sin φ + r \cdot cos φ + sin (r^{2})

r' \cdot sin φ + r \cdot cos φ \cdot φ' = r \cdot cos φ + r \cdot sin φ + sin (r^{2})

HAL9000

10:59 Uhr, 20.01.2024

Jetzt kannst du das ganze z.B. als lineares Gleichungssystem für die beiden Variablen

r ´

und

φ ´

ansehen, und nach diesen beiden Variablen auflösen. Das geht z.B. über die beiden Operationen

(I) \cdot \cos φ + (I I) \cdot \sin φ

(I) \cdot \sin φ - (I I) \cdot \cos φ

wobei (I)(II) deine beiden Gleichungen meint.

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11:03 Uhr, 20.01.2024

Ah ok, kannst du mir noch erklären, warum genau das über diese beiden Operationen funktioniert? Und wie kommt es zu dem Vorzeichenwechsel bei der zweiten?

HAL9000

12:36 Uhr, 20.01.2024

Naja, mit der ersten Zeile eliminiert man

φ ´

, und mit der zweiten

r ´

- was soll man da noch groß sagen. Zumindest dieser Teil funktioniert bei Polarkoordinatentransformation immer.

Was aber auf den rechten Seiten passiert, hängt von der konkreten DGL ab.

> Und wie kommt es zu dem Vorzeichenwechsel bei der zweiten?

Versteh nicht, was du meinst: Wie soll was wovon "kommen"?

ledum aktiv_icon

12:37 Uhr, 20.01.2024

Hallo
Es geht doch darum einmal r' einmal phi' rauszuwerfen durch die Addition bzw Subtraktion der Gleichungen. dazu macht man deren Koeffizienten gleich also Gauss Verfahren.
ledum

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12:41 Uhr, 20.01.2024

Und mit welchen Lösungsmethoden komme ich anschließend auf meine Lösung der DGL?

HAL9000

12:47 Uhr, 20.01.2024

Gib an, was du bis hierhin raushast - das beantwortet nämlich z.T. diese Fragen.

P.S.: Warum lässt du dir die Ergebnisse immer erst auf andauernde Bettelei aus der Nase ziehen? Wer will hier eigentlich was von wem?

mathepencil aktiv_icon

16:09 Uhr, 20.01.2024

Danke für die Hilfe, habe es lösen können!

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