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Differentialgleichung mit Störfunktion exp

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Amnesia aktiv_icon

17:04 Uhr, 06.12.2018

Hey, kann mir jemand sagen ob meine Lösung richtig ist?
Berechnen Sie die allgemeine Lösung von

3 y ʺ + 2 y ʹ = 8 e^{2 x}

Ich würde als erstes

: 3

rechnen um die pq Formel anzuwenden.

y ʺ + \frac{2}{3} y ʹ = \frac{8}{3} e^{2 x}

und jetzt mit dieser Funktion weiter rechnen.

p = \frac{2}{3}, q = 0

Nullstellen:

λ 1 = - \frac{2}{3}

λ 2 = 0

y h = c 1 * e^{- \frac{2}{3} x} + c 2

Jetzt zur Störfunktion:

p (2) \neq 0

y s = A e^{2 x} + B

y s ʹ = 2 A e^{2 x}

y s ʺ = 4 A e^{2 x}

In die Funktion einsetzten (

y ʺ + \frac{2}{3} y ʹ = \frac{8}{3} e^{2 x}

)

= > \frac{14}{3} A e^{2 x}

= > A = \frac{4}{7}

Lösung:

y = c 1 * e^{- \frac{2}{3} x} + c 2 + \frac{4}{7} e^{2 x}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Loewe1

17:15 Uhr, 06.12.2018

Hallo,

Deine homog. Lösung stimmt .Der Ansatz für die part. Lösung ist falsch.
Der richtige Ansatz lautet:

y_{p} = A e^{2 x}

Loewe1

17:15 Uhr, 06.12.2018

Hallo,

Deine homog. Lösung stimmt .Der Ansatz für die part. Lösung ist falsch.
Der richtige Ansatz lautet:

y_{p} = A e^{2 x}

Amnesia aktiv_icon

17:19 Uhr, 06.12.2018

ah danke schon mal!
Aber von der Lösung dürfte sich ja nichts ändern.
Ist die denn richtig?
Es müsste ja eigentlich egal sein ob ich mit

3 y ʺ + 2 y ʹ = 8 e^{2 x}

oder

y ʺ + \frac{2}{3} y ʹ = \frac{8}{3} e^{2 x}

rechne, solange ich das später bei dem A beachte oder?

Loewe1

17:27 Uhr, 06.12.2018

Hallo,

Aber von der Lösung dürfte sich ja nichts ändern.
Ist die denn richtig?---->leider nein

Wenn Du mir nicht glaubst ,leite diese ab und setze in die DGL ein.

Es müsste ja eigentlich egal sein ob ich mit 3yʺ+2y′=8e^(2x) oder yʺ+2/3y′=8/3e^(2x) rechne
->das ist egal.
Nur der Ansatz für

y_{p}

ist falsch und damit die Lösung auch.

Domares aktiv_icon

17:40 Uhr, 06.12.2018

Ich bekomm beim LGS für die Störfunktion

A = 1 / 2

heraus:

4 A + 4 / 3 * A = 8 / 3

A * (16 / 3) = 8 / 3

A = 1 / 2

Amnesia aktiv_icon

17:41 Uhr, 06.12.2018

Meinte nur das die Stammfunktion ja eh nicht gebraucht wird und die Ableitungen ja die selben sind.
Aber habe den Fehler gefunden.
Habe

y ʺ

und

y ʹ

beim einsetzten vertaucht...
Richtige Lösung ist:

y = c 1 * e^{- \frac{2}{3} x} + c 2 + \frac{1}{2} e^{2 x}

Danke dir, für die Hilfe!!!

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