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Differentialgleichung mit Substitution bestimmen?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Substitution

mathesxher62 aktiv_icon

17:16 Uhr, 03.11.2022

x y^{|} = y (ln (y) - ln (x)), y (1) = e

Mit substitution soll die spez. Lösung des Awp bestimmt werden.

y^{|} = \frac{y (ln (y) - ln (x))}{x}

Subst:

u = ln (y) - ln (x)

ln (y) = ln (x) + u

Nun weiß aber nicht so recht wie man weitermachen soll durch dieses

ln (y)

.
Ich brauch Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

17:26 Uhr, 03.11.2022

Hallo
bestimme

u' (x)

löse nach

y \frac{'}{y}

auf, kürze deine Dgl durch

y,

setze

y \frac{'}{y}

ein, dann hast du eine einfache Dgl für

u

Gruß ledum

mathesxher62 aktiv_icon

17:34 Uhr, 03.11.2022

was meinen Sie mit

y \frac{|}{y}

mathesxher62 aktiv_icon

17:47 Uhr, 03.11.2022

u = ln (y) - ln (x)

ln (y) = ln (x) + u

y = x + e^{u}

y^{|} = 1 + e^{u^{|}}

Das war noch mein fehlender ansatz. Dies scheint mir aber nicht richtig zu sein

mathesxher62 aktiv_icon

17:47 Uhr, 03.11.2022

u = ln (y) - ln (x)

ln (y) = ln (x) + u

y = x + e^{u}

y^{|} = 1 + e^{u^{|}}

Das war noch mein fehlender ansatz. Dies scheint mir aber nicht richtig zu sein

ledum aktiv_icon

12:27 Uhr, 04.11.2022

Hallo
u=lny-lnx daraus

u' = \frac{y'}{y} - \frac{1}{x}

also

\frac{y'}{y} = u' + \frac{1}{x}

einsetzen in

x \cdot

(y')/y=(ln(y)−ln(x))
die 'Schreibweise der Ableitung mit | ist irritierend hast du kein ' zur Verfügung?
dein Ansatz

y = x + e^{u}; y' = 1 + e^{u}'

ist sehr falsch kennst du die Kettenregel nicht?

(e^{u})' = u' \cdot e^{u}

wenn du richtig differenzierst geht es umständlicher auch auf dem Weg, besser ist immer die substitution zu differenzieren.
Gruß lul

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