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Differentialgleichung richtig lösen

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alex12324 aktiv_icon

18:12 Uhr, 16.01.2019

Hallo, leider bin ich ein absolutes Mathewrack und hoffe auf eure Hilfe.

Ich versuche mich grade an meinem aktuellen Mathebeleg, es geht um Differentialgleichungen.

Folgende DGL bereitet mir Kopfzerbrechen:

Anfangswert

x (0) = 1

x´=5/3* 3.Wurzel von

(t^{2} \cdot x)

(Sorry für die Wurzelumschreibung, bin mit der Ausdrucksformalität noch nicht vertraut)

Mein Ansatz wäre x´ durch dx´/dx zu ersetzen und anschließend das

d x

auf die rechte seite zu bringen.

dx´/dx=5/3* 3.Wurzel von

(t^{2} \cdot x) | \cdot d x

dx´=5/3* 3.Wurzel von

(t^{2} \cdot x) \cdot d x

danach müsste ich, wenn ich nicht falsch liege,

x

auf die linke seite bringen, weiß aber leider nicht wie ich sie aus der 3.Wurzel von

(t^{2}) \cdot x \cdot d x

rauskriege und wie es dann weiter geht.

würde mich über jede Hilfe Freuen.

Grüß Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

18:44 Uhr, 16.01.2019

x

= \frac{5}{3} \cdot {(t^{2} \cdot x)}^{\frac{1}{3}} = \frac{5}{3} \cdot t^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}

. .

.

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

18:55 Uhr, 16.01.2019

.
soll das so aussehen ?

\to

x´

= \frac{5}{3} \cdot \sqrt[3]{t^{2} \cdot x}

"Mein Ansatz wäre x´ durch dx´/dx zu ersetzen und ..."

das ist wohl absoluter Unsinn , denn offensichtlich ist

x

eine Funktion von

t .

. also

x (t) .

.

deshalb ist dann x´

= \frac{d x}{d t}

und zur Lösung deiner DGL wirst du dann TdV verwenden ..

ok?
.

Alex12324 aktiv_icon

19:01 Uhr, 16.01.2019

Danke für die Hilfe euch beiden.

Genau so soll es aussehen, aber wie bekomme ich das so eingetippt?

okay, ist somit schon mal verständlicher vielen dank.

was ist eine TdV?

rundblick aktiv_icon

19:07 Uhr, 16.01.2019

.
x´

= \frac{5}{3} \cdot \sqrt[3]{t^{2} \cdot x}

"was ist eine TdV?"

na ja - schon mal was von "Trennung der Variablen" gehört?

wenn ja

\to

dann fang mal an :

\frac{d x}{d t} = \frac{5}{3} \cdot t^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}

\Rightarrow ...

.

.

Alex12324 aktiv_icon

19:42 Uhr, 16.01.2019

Gut ich denke ich habs nun

\frac{d x}{d t} = \frac{5}{3} \cdot t^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} | \cdot d t

d x = \frac{5}{3} \cdot t^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot d t |

´/x^(1/3)

\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot d x = \frac{5}{3} \cdot t^{\frac{1}{3}} \cdot d t

(nun Integrieren)

∫1/x^(1/3)*dx=∫

\frac{5}{3} \cdot t^{\frac{1}{3}} \cdot d t

(3x^(2/3))/2=+-5*(Wurzel

30) \cdot \frac{t}{36}

wie ich es hier reingetippt habe ist zwar furchtbar, aber ich hoffe man verstehts:
Hoffe der Weg dahin war richtig.

rundblick aktiv_icon

20:06 Uhr, 16.01.2019

\int x^{- \frac{1}{3}} d x = \frac{5}{3} \cdot \int t^{\frac{2}{3}} d t

" (3x^(2/3))/2=+-5*(Wurzel

30) \cdot \frac{t}{36}

"

also:

links sieht es - wohlwollend formuliert - brauchbar aus

\to

\to \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{2}{3}} = . .

.

.............aber

\to [. .

. rechts steht irgendwas irres?

] -

mach da einen besseren Versuch

\to

\frac{5}{3} \cdot \int t^{\frac{2}{3}} d t = . .

.
.

Alex12324 aktiv_icon

20:27 Uhr, 16.01.2019

Ach muss ich

t

ohne die Konstante

\frac{5}{3}

integrieren?

Na gut, dann kommt

t^{\frac{5}{3}} + c

raus.

und damit dann

x = \pm

2*(Wurzel

6) \cdot t^{\frac{5}{2}} + c

Geteilt durch 9

Btw: gibt es hier eigentlich eine Erklärung wie man die Formeln richtig hinschreiben kann

rundblick aktiv_icon

20:41 Uhr, 16.01.2019

\int x^{- \frac{1}{3}} d x = \frac{5}{3} \cdot \int t^{\frac{2}{3}} d t

soweit hast du es nun gut gemacht

\to

\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} = t^{\frac{5}{3}} + c

die nächsten Schritte musst du nochmal langsam und sorgfältig neu machen ..
(denn das, was du als Ergebnis notiert hast, ist abstrus voll daneben)

also erster Schritt

\to

c

ermitteln, wenn bekannt ist,dass

\to x (0) = 1

\Rightarrow c =

?

und danach eventuell noch auflösen nach

\to x (t) = ...

.

.

Alex12324 aktiv_icon

20:54 Uhr, 16.01.2019

super, aber was bedeutet es denn, wenn der Anfangswert

x (o) = 1

ist?
wie gehe ich damit um?

rundblick aktiv_icon

21:00 Uhr, 16.01.2019

\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} = t^{\frac{5}{3}} + c

"super, aber was bedeutet es denn, wenn der Anfangswert

x (o) = 1

ist?"

\to

das heisst ganz einfach

\to

wenn du für

t = 0

einsetzt hat

x

den Wert 1
.. damit bekommst du dann den passenden Wert für

c

nämlich

[

mit

x (0) = 1] \Rightarrow c =

?

also ?

. .

.

.

Alex12324 aktiv_icon

21:14 Uhr, 16.01.2019

also heißt das

\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}} = 1^{\frac{5}{3}} + c

?

also heißt das ich muss nun nach

c

umstellen? Dann wäre

c = 0

Alex12324 aktiv_icon

21:17 Uhr, 16.01.2019

Oh entschuldige hab mich vertippt meinte

c = - 1

rundblick aktiv_icon

22:58 Uhr, 16.01.2019

\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} =

t°(5/3)

+ c

" Oh entschuldige hab mich vertippt meinte c=-1"

\to

auch falsch

\to

du sollst doch für

t = 0

und

x = 1

einsetzen

!! -

ist das denn soo schwer ?

.

Alex12324 aktiv_icon

13:34 Uhr, 17.01.2019

Mein fehler habs vertauscht.

\frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} = 0 + c

c = \frac{3}{2}

wäre das nun korrekt?

rundblick aktiv_icon

16:11 Uhr, 17.01.2019

.

"wäre das nun korrekt?"

... ... ... ...

\to

Ja ..

x´

= \frac{5}{3} \cdot \sqrt[3]{t^{2} x} ... ...

. Anfangswert

x (0) = 1

\to

wie sieht dann also jetzt deine Lösung der Aufgabe aus ?

\to ... ... .

.

.

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