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Differentialgleichung verstehen..

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Miausch aktiv_icon

13:52 Uhr, 20.07.2012

Hi

Ich habe folgende Differentialgleichung vorliegen:

x' (t) = \frac{1}{τ_{x} (u)} \cdot [x - x_{0} (u)]

τ_{x} (u)

soll eine Zeitkonstante sein (was auch immer das heisst). Hier steht nun, das bei konstantem

u, x

sich

x_{0}

annähert (und dies mit der Zeitkonstante

τ_{x} (u))

.

Wie sehe ich das? Ohne die Diffgleichung zu lösen, ich will so etwas wie eine Intuition für genau diese Beschreibungsart entwickeln.

Danke

M

CKims aktiv_icon

14:25 Uhr, 20.07.2012

"Wie sehe ich das? Ohne die Diffgleichung zu lösen, ich will so etwas wie eine Intuition für genau diese Beschreibungsart entwickeln."

hehe... das probiere ich auch, seit dem ich mit dem thema konfrontiert wurde ;-) wenn du das hinkriegst, sag bescheid und erklaer es mir...

also, soweit, wie ich das kann, ist: man kann verstehen, wie die dgl aufgestellt wurde... aber intuitiv zu erkennen, was eine dgl fuer ein ergebnis liefert, ist nicht leicht... es ist eher so, dass leute bestimmte dgls ganz oft durchgerechnet haben und daher wissen, was rauskommt... das beste was ich noch einigermassen intuitiv erkennen kann, ist die dgl grob numerisch zu loesen... diese numerischen loesungsmethoden wirst oder hast du schon gelernt?

wenn du also sowas liest, wie "x naehert sich x_0" an, dann bedeutet das nicht unbedingt, dass man das direkt an der dgl ablesen kann... es kann auch bedeuten "der autor kennt das ergebnis schon und gibt hier schonmal einen hinweis, wo das ganze hinlaeuft"

es hilft sehr, wenn dir bewusst wird (dafuer hab ich ne halbe ewigkeit gebraucht), dass mathe nur aussagen macht, was richtig ist... aber nicht zwangsläufig erklaert, wie der autor darauf gekommen ist ;-)

allderdings naehert sich bei dieser dgl

x

nicht

x_{0}

an... dgl falsch abgetippt? oder steht die aufgabe in einem bestimmten kontext?

Miausch aktiv_icon

15:11 Uhr, 20.07.2012

:-)

dann erklär ich dir, wie ich zu diesen falschen/hohen Ansprüchen komme: Physiker. Sobald ich denen eine DGL unter die Nase halte, können sie mir sagen, wie das zu interpretieren ist, ohne sie bereits schon einmal gesehen zu haben (ev. fallen sie aber in die von dir aufgestellte Kategorie derer, die das schon x-mal gemacht haben).

Hier ist der Link:

http://icwww.epfl.ch/~gerstner/SPNM/node14.html#ch-HH

Etwas runterscrollen zu Formel

(2.7)

.

Soweit ich sehe, hab ich das richtig eingetippt.

Numerische Methoden hatte ich leider noch nicht (ausser einfach einsetzen und ausprobieren)

Lg

CKims aktiv_icon

16:26 Uhr, 20.07.2012

du hast ein minus vor dem bruch vergessen... dann konvergiert das auch gegen

x_{0}

.

"dann erklär ich dir, wie ich zu diesen falschen/hohen Ansprüchen komme: Physiker"

also von meiner physikertruppe kann das nur einer ;-) und der ist leicht autistisch veranlagt...

physiker koennen insbesondere dgls bis zur ordnung 2 aus dem aermel schuetteln... das liegt daran, dass die vorgaenge, die sie beschreiben, oftmals was mit beschleunigung, geschwindigkeit und ort zu tun haben. die koennen das unheimlich gut auf das feder masse daempfungsmodell abbilden und interpretieren... weitergehende dgls sind dann eher spezialgebiete... dann trifft man seltener auf einen physiker, der gerade eine beliebig ausgewaehlte dgl intuitiv versteht...

kannst dir ja mal eine dgl 3 ordnung ausdenken... vieleicht mit nichtkonstanten koeffizienten... und dann mal deine physiker fragen... vielleicht haben ja deine mehr drauf als meine physiker xD

bei deiner gegebenen dgl kann man so vorgehen (und so macht man das auch numerisch)

x' = - \frac{1}{2} (x - 9)

(habe hier beispielsweise ein paar zahlen eingestzt)

fangen wir mit

x = 10

an.... dann ist

x' = - \frac{1}{2} (10 - 9) = - \frac{1}{2}

die ableitung von

x

negativ (negative steigung)...

d . h

. im naechsten zeitschritt wird

x

kleiner als vorher sein...

liegt man dagegen mit

x = 8

unter der

9 . .

. so ist

x' = - \frac{1}{2} (8 - 9) = \frac{1}{2}

die ableitung positiv...

d . h

. im naechsten zeitschritt wird

x

groesser sein als vorher

x

bewegt sich also staendig auf

x_{0}

zu...

Miausch aktiv_icon

20:09 Uhr, 20.07.2012

Hey Moklok!

Das hat sehr geholfen..und du hast recht, wahrscheinlich haben Physiker dieses Standardrepertoire (so was ist immer gut zu wissen, dann kommt man sich nur noch halb so dumm vor ;-)

Mit Einsetzen mach ich das auch immer ungefähr so..

Ich hab noch Fragen:

- Mit "Zeitkonstante" ist, wenn ich es richtig verstehe einfach gemeint, wie schnell dieser "Gleichgewichtszustand"

(x_{0})

erreicht wird? In dieser Diffgleichung handelt es sich ja aber gar nicht um eine Konstante (ist ja eine Funktion von

u)

?

- Was mich bei Diffgleichungen immer irritiert: Eine gewöhnliche Diffgleichung sollte ja etwas von der Form

F (x^{n} (t), x^{n - 1} (t), ..., t) = 0

sein. In diesem Beispiel ist ja aber

x

sowohl eine Funktion von

t,

wie auch von

u -

handelt es sich hierbei also um eine partielle Differentialgleichung?

- Und noch eine letzte Frage: Was wären hier genau die Achsen für die Lösung?(hängt wohl mit der letzten Frage zusammen)

1000-mal Dank wiedermal

M

CKims aktiv_icon

12:53 Uhr, 21.07.2012

- Mit "Zeitkonstante" ist, wenn ich es richtig verstehe einfach gemeint, wie schnell dieser "Gleichgewichtszustand"

(x 0)

erreicht wird?

ja. allerdings naehert sich ja

x

asymptotisch

x_{0}

an. also erreicht

x

im modell eigentlich nie

x_{0}

. daher benoetig man eine abmachung, wann man sagt, dass

x

nahe genug an

x_{0}

dran ist, um es als "erreicht" zu deklarieren. dazu nimmt man eine tangente, die an der funktion

x (t)

anliegt unzwar zum zeitpunkt null. sobald die tangente dann

x_{0}

erreicht hat, sagt man,

x_{0}

sei erreicht... und die tangente erreicht

x_{0}

nach der zeit

τ

.

- In dieser Diffgleichung handelt es sich ja aber gar nicht um eine Konstante (ist ja eine Funktion von

u)

?

wenn

u

als konstant angenommen wird, ist auch

τ_{x} (u)

konstant.

- Was mich bei Diffgleichungen immer irritiert: Eine gewöhnliche Diffgleichung sollte ja etwas von der Form F(xn(t),xn-1(t),...,t)=0 sein. In diesem Beispiel ist ja aber

x

sowohl eine Funktion von

t,

wie auch von

u -

handelt es sich hierbei also um eine partielle Differentialgleichung?

wie schon gerade eben gesagt... wenn

u

konstant ist, ist auch eine funktion von

u

konstant. man koennte jetzt sagen, das sei eine partielle dgl, bei der man bestimmte variablen als konstant voraussetzt. oder man kann sagen, es sei eine gewoehnliche dgl, nachdem man

u

als konstant voraussetzt. läuft beides auf dasselbe hinaus.

- Und noch eine letzte Frage: Was wären hier genau die Achsen für die Lösung?(hängt wohl mit der letzten Frage zusammen)

puhh... nicht einfach zu sagen, ohne huxley im detail zu lesen. was ich nur im rueberfliegen rausgekriegt habe:

x (t)

gibt dir eine wahrscheinlichkeit dafuer an, ob gerade die membrane für einen bestimmten kanal geöffnet ist. demnach muesste die waagerechte achse die zeit sein und die senkrechte achse einheitenlos. aber wie schon gesagt, ich hab das nur überflogen...

lg

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