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Differentialgleichungen mit Separationsansatz

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen, Separationsansatz

Christo1218 aktiv_icon

19:42 Uhr, 21.09.2010

So nun richtig dargestellt

Gegeben ist folgende partielle Differentialgleichung

\frac{\partial}{\partial t^{2}} φ (x, t) - c^{2} \frac{\partial}{\partial x^{2}} φ (x, t) = 0

a)

Überführen Sie die oben gegebene Differentialgleichung mittels Seperationsansatz in folgende Darstellung.

X'' (x) + σ^{2} X (x) = 0

T'' (t) + c^{2} σ^{2} T (t) = 0

b)

Bestimmen Sie die Lösung für die Gleichung

1,

die folgende Bedingungen erfüllt

x (0) = x (L) = 0

\frac{d}{d t} T (0) = 0

c)

Bestimmen Sie die allgemeinste Lösung

φ (x, t)

der partiellen Differentialgleichung, die die Bedingungen in

b

erfüllt.

d)

Zusätzlich zu den Bedinungen in

b

gilt noch

φ (x, o) = \partial (x)

. Wie lautet dann die Lösung

φ (y, t)

der partiellen Differentialgleichung ?

Lösungansätze:

Die Lösung zu a habe ich bereits, die Lösung zu

b

in Teilen bei

c

und

d

weiß ich nicht was ich machen soll.

zu

a)

Mittels Seperationsansatz

φ (x, t) = X (x) \cdot T (t)

eingesetzte in unsere Ausgangsformel

\frac{\partial}{\partial t^{2}} X (x) \cdot T (t) - c^{2} \frac{\partial}{\partial x^{2}} X (x) \cdot T (t) = 0

abgeleitet

X (x) \cdot T'' (t) - c^{2} X'' (x) \cdot T (t) = 0

separiert

- c^{2} X'' (x) \cdot T (t) = - X (x) \cdot T'' (t)

\frac{X'' (x)}{X (x)} = \frac{- T'' (t)}{c^{2} T (t)}

Variable simga^2 wird eingeführt

\frac{- X'' (x)}{X (x)} = \frac{- T'' (t)}{c^{2} T (t)} = σ^{2}

umgestellt und separiert ergibt die Lösung

a)

X'' (x) + σ^{2} X (x) = 0

T'' (t) + c^{2} σ^{2} T (t) = 0

b)

Jetzt kann ich ja zwei Ansätze verwenden

1.

X (x) = e^{λ x}

X'' (x) = λ^{2} e^{λ x}

X (x) = sin (λ x) + cos (λ x)

X'' (x) = - λ^{2} sin (λ x) - λ^{2} cos (λ x)

Mittels Ansatz 2 wird weiter gerechnet
Ansatz eingesetzt in unsere Lösung aus Aufgabe a

- λ^{2} sin (λ x) - λ^{2} cos (λ x) + σ^{2} (sin (λ x) + cos (λ x)) = 0

- λ^{2} (sin (λ x) + cos (λ x)) + σ^{2} (sin (λ x) + cos (λ x)) = 0

- λ^{2} + σ^{2} = 0

λ^{2} = σ^{2}

λ = \pm σ

Mit meinen Bedingungen

x (0) = x (L) = 0

ergibt sich

X (x) = A (sin (σ x) + cos (σ x)) + B (sin (- σ x) + cos (- σ x)) = 0

X (0) = A (sin (σ 0) + cos (σ 0)) + B (sin (- σ 0) + cos (- σ 0)) = 0

X (0) = A + B = 0

A = - B

X (L) = A (sin (σ L) + cos (σ L)) + B (sin (- σ L) + cos (- σ L)) = 0

mit

B = - A

folgt

X (L) = A (sin (σ L) + cos (σ L)) - A (sin (- σ L) + cos (- σ L)) = 0

X (L) = A (sin (σ L) + cos (σ L) - sin (- σ L) - cos (- σ L)) = 0

Jetzt muss man isch die Graphen Sinus und Cosinus am besten auftzeichnen und sieht das Cosinus zu Null wird und Sinus sicher verdoppelt (Zumindest denke ich mir das so)

A 2 (sin (σ L) = 0

(sin (σ L)

wird Null bei

(σ L) = n π

Bis hierhin bin ich gekommen, bei a bin ich mir sicher , dasss das soweit richtig ist. Zu

b

weiß ich nicht genau.

Was muss ich nun mit

\frac{d}{d t} T (0) = 0

machen ?

Und wie stelle ich die Lösung in

c

dar bzw d?

Für Vorschläge schon einmal Danke

Greets

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

QPhma aktiv_icon

23:53 Uhr, 24.09.2010

Der Teil

b)

ist soweit auch richtig. Als nächstes musst Du die Lösung für

X (x)

erst mal hinschreiben. Dabei ist zu beachten, dass Du ja nicht nur eine Lösung gefunden hast, sondern viele - das

n

durchläuft alle ganzen Zahlen. Also wird ein Index

n

eingeführt

σ_{n} = \frac{n \cdot π}{L}

X_{n} (x) = 2 \cdot A \cdot sin (\frac{n \cdot π}{L} \cdot x)

Jetzt kannst Du die Lösung für

T (t)

suchen. Die DGL für

T (t)

ist genau die gleiche wie für

X (x),

bis auf den zusätzlichen Faktor vor

σ^{2}

. Damit ist auch das Lösungsverfahren das gleiche. Du erhälst wieder zwei Fundamentallösungen

T_{α}

und

T_{β},

aus denen sich die allgemeine Lösung duch Addition mit zwei Faktoren zusammensetzt

T (t) = α \cdot T_{α} (t) + β \cdot T_{β} (t)

Für die Bestimmung von

α

und

β,

bzw. der Beziehung zwischen beiden, muss jetzt die Bedingung

T' (0) = 0

erfüllt werden, also

T (t)

ableiten und dann

t = 0

einsetzen.
Wenn Du dann die fertige Lösung für

T (t)

aufschreibst, musst Du das

σ_{n}

einsetzen, was sich bei der Lösung der DGL für

X (x)

ergeben hat, denn es müssen ja beide DGL gleichzeitig erfüllt sein. D.

h

. die Lösung für

T

muss auch einen Index

n

bekommen.
Zum Schluss wird dann noch

φ_{n} (x, t)

hingeschrieben, indem Du

X_{n} (x)

und

T_{n} (t)

miteinander multiplizierst.

Für die Aufgabe

c)

musst Du die allgemeinen Lösungen von

X (t)

und

T (t)

miteinander multiplizieren, ohne die Koeffizienten A und

B

bzw.

α

und

β

genauer zu bestimmen.

Für die Aufgabe

d)

ist mir der Ausdruck

\partial (x)

nicht verständlich, und ich verstehe auch nicht wo plötzlich die Variable

y

bei

φ (y, t)

herkommt.

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