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Differentialquotient 2^x

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

dummtrottel aktiv_icon

23:56 Uhr, 03.08.2010

f (x) = 2^{x}

f' (x) = lim_{h \to 0} (\frac{2^{x + h} - 2^{x}}{x + h - x}) = lim_{h \to 0} (\frac{2^{x} \cdot 2^{h} - 2^{x}}{h}) = 2^{x} lim_{h \to 0} (\frac{2^{h} - 1}{h})

Soweit richtig? Und wie ging es dann weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

10:10 Uhr, 04.08.2010

lim_{h \to 0} \frac{2^{h} - 1}{h} = ln (2)

dummtrottel aktiv_icon

10:21 Uhr, 04.08.2010

Hallo und danke erstmal. Damit stimmt das Ergebnis dann also mit der Ableitungsregel überein. Nur: Wie komme ich von dem Limes auf das Ergebnis

ln 2

hagman aktiv_icon

11:49 Uhr, 04.08.2010

Kommt drauf an. Wie definierst du

2^{h}

Yokozuna aktiv_icon

12:41 Uhr, 04.08.2010

Hallo,

wegen $2 = e^{\ln 2}$ kann ich auch schreiben: $\lim_{h \to 0} \frac{2^{h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{\ln 2 \cdot h} - 1}{h}$ .

Ich gehe von der Beziehung $e (x) = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n}$ aus und zeige die folgende Ungleichungskette:

$1 + x \leq {(1 + \frac{x}{n})}^{n} \leq \frac{1}{{(1 - \frac{x}{n})}^{n}} \leq \frac{1}{1 - x}$

Das erste $\leq$ folgt aus der bernoullischen Ungleichung $1 + n \cdot x \leq {(1 + x)}^{n}$ (sie gilt für $x \geq - 1$ ). Ich muß lediglich statt $x$ den Wert $\frac{x}{n}$ setzen. Das zweite $\leq$ folgt aus

$1 - u^{2} = (1 + u) \cdot (1 - u) \leq 1, u < 1 \Rightarrow 1 + u \leq \frac{1}{1 - u}, u < 1$ .

Setzt man $u = \frac{x}{n}$ , so folgt zunächst $1 + \frac{x}{n} \leq \frac{1}{1 - \frac{x}{n}}$ und daraus ${(1 + \frac{x}{n})}^{n} \leq \frac{1}{{(1 - \frac{x}{n})}^{n}}$ .

Das dritte $\leq$ folgt wieder aus der bernoullischen Ungleichung mit $- \frac{x}{n}$ statt $x$ :

${{(1 - \frac{x}{n})}^{n} = (1 + (- \frac{x}{n}))}^{n} \geq (1 + n \cdot (- \frac{x}{n})) = 1 - x \Rightarrow \frac{1}{{(1 - \frac{x}{n})}^{n}} \leq \frac{1}{1 - x}$ .

Insgesamt habe ich also:

$1 + x \leq {(1 + \frac{x}{n})}^{n} \leq \frac{1}{1 - x}$

und wenn ich n gegen unendlich gehen lasse folgt daraus:

$1 + x \leq e^{x} \leq \frac{1}{1 - x}$

Damit ist nun, wenn ich statt $x$ den Wert $\ln 2 \cdot h$ setze:

$\ln 2 = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \ln 2 \cdot h - 1}{h} \leq \lim_{h \to 0} \frac{e^{\ln 2 \cdot h} - 1}{h} \leq \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 - \ln 2 \cdot h} - 1}{h} =$ $= \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1 + \ln 2 \cdot h}{h \cdot (1 - \ln 2 \cdot h)} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln 2 \cdot h}{h \cdot (1 - \ln 2 \cdot h)} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln 2}{(1 - \ln 2 \cdot h)} = \ln 2$

und damit

$\lim_{h \to 0} \frac{2^{h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{\ln 2 \cdot h} - 1}{h} = \ln 2$

Viele Grüße

Yokozuna

dummtrottel aktiv_icon

12:50 Uhr, 04.08.2010

Vielen Dank! Muß ich mir mal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen...

Kosekans aktiv_icon

12:55 Uhr, 04.08.2010

Setze

k := 2^{h} - 1;

dann ist

\frac{2^{h} - 1}{h} = \frac{k}{(\frac{ln (k + 1)}{ln (2)})} = \frac{ln (2) \cdot k}{ln (k + 1)} = ln (2) \cdot \frac{1}{\frac{1}{k} \cdot ln (k + 1)} = ln (2) \cdot \frac{1}{{ln (k + 1)}^{\frac{1}{k}}}

. In diesem Ausdruck steckt die (oder eine) Definition von

e

. Es ergibt sich beim Grenzübergang

lim_{k \to 0} (ln (2) \cdot \frac{1}{{ln (k + 1)}^{\frac{1}{k}}}) = ln (2) \cdot \frac{1}{ln (e)} = ln (2)

.

edit:
Hmm, da war ich wohl zu langsam :-)

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