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Differentialrechnung

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Tags: Differentialrechnung, Mathematik

timo1010 aktiv_icon

17:35 Uhr, 21.08.2020

Hallo. Ich habe ein paar Aufgaben aufbekommen, bei denen ich die erste sowie die zweite Ableitung bestimmen soll. Leider komme ich bei dieser Aufgabe hier nicht weiter:

f (x) = {(cos (x) + 2)}^{2}

Ich habe disese auch schon in Online Ableitungsrechner eingegeben, jedoch verstehe ich die Lösungswege nicht.

Also die erste Ableitung habe ich schon bestimmt jedoch bin ich mir total unsicher... f´(x)

= - 2 (sin (x) \cdot (cos (x) + 2)

?

Kann mir jemand bitte (mit Erklärung!) die erste und die zweite Ableitung zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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18:03 Uhr, 21.08.2020

Hallo,

einfach die Kettenregel anwenden für die 1. Ableitung:

f^{ʹ} (x) = 2 \cdot (\cos (x) + 2)^{2 - 1} \cdot (- \sin (x)) = - 2 \sin (x) \cdot (\cos (x) + 2)

Im Prinzip ist die 1. Ableitung richtig. Die Klammersetzung ist nur nicht konsistent.

Für die zweite Ableitung erst einmal die Klammer ausmultiplizieren.

f^{ʹ} (x) = = - 2 \sin (x) \cdot (\cos (x) + 2) = - 2 \sin (x) \cdot \cos (x) - 4 \sin (x)

Bei der Ableitung von

f^{ʹ} (x)

die Produktregel für

\sin (x) \cdot \cos (x)

verwenden. Das bekommst du hin.

Gruß
pivot

Roman-22

18:41 Uhr, 21.08.2020

>

Bei der Ableitung von fʹ(x) die Produktregel für sin(x)⋅cos(x) verwenden.
Alternativ und etwas einfacher kann man das auch unter Benutzung des Zusammenhangs

2 \cdot sin x \cdot cos x = sin (2 x)

und der Kettenregel erledigen. Wenn man mag oder muss kann man danach ja noch einer der Beziehungen

cos (2 x) = {cos}^{2} x - {sin}^{2} x = 2 \cdot {cos}^{2} x - 1 = 1 - 2 \cdot {sin}^{2} x

nutzen.

timo1010 aktiv_icon

19:43 Uhr, 21.08.2020

Hallo.
Wie kommst du hier f′(x)==−2sin(x)⋅(cos(x)+2)=−2sin(x)⋅cos(x)−4sin(x) ) auf die -4sin(x) ?

timo1010 aktiv_icon

19:54 Uhr, 21.08.2020

Ich habe dann bei f´´(x) folgendes raus:

f´´(x) = -2cos(x)*cos(x)-4sin(x)-2sin(x)*-sin(x)-4cos(x) = -2cos(x)-4sin(x)+2sin(x)-4cos(x) = -8cos(x)-2sin(x)

Ist das Ergebnis richtig?

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19:55 Uhr, 21.08.2020

Du meinst die 1. Ableitung? Wenn ja, dann ist es eben die Anwendung der Kettenregel.

Die Ableitung ist

Äußere Ableitung \times Innere Ableitung

Sei

g (x) = \cos (x) + 2

.
Dann ist

f (x) = (g (x))^{2}

und die 1. Ableitung ist gleich

f^{ʹ} (x) = \underset{Äußere Ableitung}{\underset{⎵}{2 \cdot g (x)^{2 - 1}}} \cdot \underset{Innere Ableitung}{\underset{⎵}{g^{ʹ} (x)}}

= 2 \cdot g (x) \cdot g^{ʹ} (x) = 2 \cdot (c o s (x) + 2) \cdot (- \sin (x))

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20:06 Uhr, 21.08.2020

>>f´´(x) = -2cos(x)*cos(x)-4sin(x)-2sin(x)*-sin(x)-4cos(x) <<
Die -4sin(x) ist nicht Teil der Produktregel. Die Produktregel wird nur auf das Produkt angewendet. Ansonsten ist es richtig.

>>f´´(x) = -2cos(x)*cos(x)-2*sin(x)*(-sin(x)) -4cos(x) <<

= - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)

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