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Differentialrechnung - Tangente im Ursprung senkre

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Differentialrechnung, Tangente

 
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mrtayfun007

mrtayfun007 aktiv_icon

14:18 Uhr, 06.11.2011

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Afugabe heit:

K ist der Grapf der Funktion f mit f(x)=0,5x-1+e-x
a) Die Tangente an K im Ursprung ist t.
Teigen sie : Es gibt keine Tangente an K, die senkrecht auf t steht.

b) Ist die Gerade g mit y=(0,5-e)x-1 Tangente an K? begründen sie ihre Antwort.

Es würde mir sehr helfen wenn mir jemand diese Aufgabe vorrechnen würde. Ich verstehe es beser wenn ich es sehe wie man es rechnet, als das man es mir mit worten versucht zu erklären.

Was mich aber etwas stutzig macht ist, dass ich auch nicht verstehe was die mit senkrecht zu t meinen. Wenn mir das auch einer erklären würde, wäre ich sehr dankbar.


lg
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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prodomo

prodomo aktiv_icon

14:45 Uhr, 06.11.2011

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Für die Tangente im Ursprung brauchst du erstmal die Steigung dort. y=12⋅x-1+e-x ergibt y'=12-e-x. Also wird y'(0)=12-1=-12. Eine Gerade mit dieser Steigung durch den Ursprung heißt dann y=-12⋅x. Eine Gerade, die dazu senkrecht stehen soll, müsste die Steigung 2 haben (merke: das Produkt zweier senkrecht zueinander verlaufender Richtungen ist -1). Für den Beweis ist nun zu zeigen, dass die Kurve nirgendwo eine Tangente mit der Steigung 2 haben kann. Das führt auf 12-e-x=2 bzw. e-x=-1,5. Da aber e-x nie kleiner als Null wird, kann das nicht funktionieren.
gleiche Idee für die eventuelle Tangente: (0,5-e)⋅x-1=12-e-x führt auf (0,5-e)⋅x=1,5-e-x. Die linke Seite der Gleichung ist immer negativ, solange x positiv ist, die rechte aber immer positiv bei positivem x. Positive x scheiden also aus. Negative x ergeben links immer positive Werte, rechts nur dann positive Werte, wenn e-x kleiner als 1,5 bleibt. Das ist der Fall bis zu x>-ln(1,5), also bis ungefähr x=-0,4. (0,5-e)⋅(-0,4)= 0,887...Hier hilft nur eine Näherung weiter, aber vorher ist eine Zeichnung sinnvoll. Die liefert x ungefähr -0,15. Aber die Aufgabe verlangt ja nur zu lösen, ob ...sein kann. Das ja.
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