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Differentiation zu zeigen

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Differentiation

Tags: Differentiation

Seralp aktiv_icon

21:54 Uhr, 26.04.2024

Zeigen Sie, dass für

f (x) = (x^{2} - 1)^{L}

für die Ableitungen die Relation

(x^{2} - 1) f^{k + 1} (x) + 2 x (k - L) f^{k} (x) + k (k - 1 - 2 L) f^{k - 1} (x) = 0

gilt

(k = 0, 1, 2, . . . 2 l - 1)

Es ist zweckmäßig zunächst die Relation

(x^{2} - 1) f ʹ (x) - 2 L x f (x) = 0

zu zeigen.
Schreiben Sie außerdem

f^{L} (x)

auf

So weit erstmal die Aufgabe
jetzt meine Gedanken:
die Relation

(x^{2} - 1) f ʹ (x) - 2 L x f (x) = 0

ist für k=0 oben eingesetzt oder einfach mit der Ableitung

f ʹ (x) = L (x^{2} - 1)^{L - 1} * 2 x

zu lösen.

Aber eher zu der unteren Relation

(x^{2} - 1) f^{k + 1} (x) + 2 x (k - L) f^{k} (x) + k (k - 1 - 2 L) f^{k - 1} (x) = 0

Entweder dachte ich jetzt an k=>k+1 aber dann steht da

(x^{2} - 1) f^{k + 2} (x) + 2 x (k + 1 - L) f^{k + 1} (x) + (k + 1) (k - 2 L) f^{k} (x) = 0

aber ich hätte hier jetzt keine wirkliche Idee das Sinnvoll zu lösen

Zweite Idee, die ich hatte war die Gleichung abzuleiten, dann steht da

\frac{d}{d x} ((x^{2} - 1) f^{k + 2} (x) + 2 x (k + 1 - L) f^{k + 1} (x) + (k + 1) (k - 2 L) f^{k} (x)) = \frac{d}{d x} 0

(k + 1) (x^{2} - 1) f^{k} + 2 x f^{k + 1} + 2 (k - L) f^{k} + 2 x (k - L) k * f^{k - 1} (x) + k (k - 1 - 2 L) (k - 1) f^{k - 2} (x) + (2 k - 1 - 2 L) f^{k - 1} (x) = 0

=> zu Ende umgeformt (ich will jetzt hier keine Fehler aufschreiben und habe das mit Wolfram
Alpha gemacht und ich komme auf

(x^{2} f^{k} (x) + 2 x (k - 1 - L) f^{k - 1} (x) + (k - 1) (k - 2 - 2 L) f^{k - 2} (x) = 0

Oder so ist da die Idee ist richtig?

und dann käme die Frage wie ich auf f^{L}(x) komme.
Also die Ableitung hat dann ja

(L * (L - 1) . . . . (L - L)) (x^{2} - 1) * 2 x^{L}

oder so ?
Hat vielleicht jemand mal ein Tipp für mich ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

23:03 Uhr, 26.04.2024

Anscheinend ist das eine Aufgabe im Dunstkreis "Legendre-Polynome".

de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom

michaL aktiv_icon

23:08 Uhr, 26.04.2024

Hallo,

die Hilfsgleichung erhältst du (auch) dadurch, dass du

f (x) = (x^{2} - 1)^{L} \overset{}{\Leftrightarrow} 1 = \frac{f (x)}{(x^{2} - 1)^{L}}

umformst, beide Seiten formal ableitest und den Bruch geeignet kürzt:

0 = \frac{f ʹ (x) \cdot (x^{2} - 1)^{L} - f (x) \cdot L (x^{2} - 1)^{L - 1} \cdot 2 x}{(x^{2} - 1)^{2 L}}

Ich nehme an, dass man danach die eigentliche Gleichung induktiv zeigen kann, wobei ich mir nicht sicher bin, wie die Gleichung genau zu lauten hat.
Vielleicht kannst du ja mal einen Scan der Originialaufgabenstellung hier angeben? (Max. 500 kB)

Mfg Michael

Seralp aktiv_icon

14:47 Uhr, 27.04.2024

Hey, vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Ich werde mich mal in das Thema Legendre-Polynome einlesen. Wie schön, dass ich hier das erste Mal von Legendre-Polynomen höre. Die Aufgabe habe ich als Datei angehängt. Sobald mir eine Idee kommt, melde ich mich wieder. Solange bin ich für jeden Tipp dankbar.

Seralp aktiv_icon

18:54 Uhr, 27.04.2024

Ich hätte jetzt noch die Idee, dass man gucken könnte ob

(x^{2} - 1) f ʺ (x) - 2 l x f ʹ (x) = 0

oder so gilt und damit die eigenste Relation umformen kann.
aber

(x^{2} - 1) f ʺ (x) - 2 l x f ʹ (x) = 0

gilt nicht.

HJKweseleit aktiv_icon

03:24 Uhr, 28.04.2024

Das geht doch per Vollst. Induktion, wozu der Tipp gut sein soll, weiß ich nicht.

Zeigen Sie, dass für

f (x) = (x^{2} - 1)^{L}

für die Ableitungen die Relation

(x^{2} - 1) f^{k + 1} (x) + 2 x (k - L) f^{k} (x) + k (k - 1 - 2 L) f^{k - 1} (x) = 0

gilt.

I.Anfang:

Setzt man k=0 ein, erhält man

(x^{2} - 1) f^{0 + 1} (x) + 2 x (0 - L) f^{k} (x) + 0 (0 - 1 - 2 L) f^{0 - 1} (x) = (x^{2} - 1) f^{0 + 1} (x) + 2 x (0 - L) f^{0} (x) = 0

, also

(x^{2} - 1) f^{1} (x) - 2 x (L) f (x) = 0

Leitet man nun f direkt ab, so ist

(x^{2} - 1) f^{1} (x) = (x^{2} - 1) L (x^{2} - 1)^{L - 1} 2 x = 2 x L f (x)

in Übereinstimmung mit soeben Errechnetem.

I.Schritt von k auf k+1:

Ich leite

(x^{2} - 1) f^{k + 1} (x) + 2 x (k - L) f^{k} (x) + k (k - 1 - 2 L) f^{k - 1} (x) = 0

noch mal ab. Das gibt

2 x f^{k + 1} (x) + (x^{2} - 1) f^{k + 2} (x) + 2 (k - L) f^{k} (x) + 2 x (k - L) f^{k + 1} (x) + k (k - 1 - 2 L) f^{k} (x) = 0

(nach Ableitungen sortiert:-)

(x^{2} - 1) f^{k + 2} (x) + 2 x (1 + k - L) f^{k + 1} (x) + (2 k - 2 L + k^{2} - k - 2 k L) f^{k} (x) = 0

(x^{2} - 1) f^{k + 2} (x) + 2 x (1 + k - L) f^{k + 1} (x) + (k^{2} - 2 k L + k - 2 L) f^{k} (x) = 0

(x^{2} - 1) f^{(k + 1) + 1} (x) + 2 x (1 + k - L) f^{k + 1} (x) + (k + 1) (k - 2 L) f^{(k + 1) - 1} (x) = 0

(x^{2} - 1) f^{(k + 1) + 1} (x) + 2 x (1 + k - L) f^{k + 1} (x) + (k + 1) [(k + 1) - 1 - 2 L] f^{(k + 1) - 1} (x) = 0

Da ist nun überall das k durch k+1 ersetzt.

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