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Differentierbarkeit zeigen und alle x mit f'(x)>0
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Differenzierbarkeit, Funktion, Zeigen Sie
 
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Hallo Leute, ich habe ein Problem mit dieser aufgabe. Und zwar lautet sie: "Betrachten Sie die Funktion Zeigen Sie, dass f differentierbar in jedem Punkt in (−2,∞) ist und bestimmen Sie alle x ∈ (−2,∞) mit f'(x) > 0" Damit eine Funktion differentierbar ist, muss sie stetig sein. Da die Funktion in den Reelen zahlen auf (-2, ∞) definiert ist wird der Nenner nie null werden, da er immer positiv bleibt. Daher ist f(x) stetig in (-2, ∞). Die Ableitung sieht dann nach der Quotientenregel so aus: Ist die überlegung richtig so? Wie mache ich nun weiter um alle x ∈ (−2,∞) mit f'(x) > 0 zu finden? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Wie mache ich nun weiter um alle ∈ (−2,∞) mit zu finden? ZB mit Fallunterscheidung. Damit diese erste Ableitungsfunktion positiv ist, müssen entweder alle Faktoren des Zählers positiv, oder alle negativ sein. Der Nenner ist ja immer positiv. Wenn du das Ergebnis hast, kannst du dir die Funktion ja von einem Programm plotten lassen um es zu kontrollieren. |
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Deine Ableitung ist richtig. Für f' gilt: Der Nenner wird nie 0. Der Bruch wird also genau dann 0, wenn der Zähler 0 wird. Das ist der Fall bei x=0 sowie bei , also x=-2 und x=2. Da f' stetig ist, hat f' in den Intervallen [-2|0], [0|2] und [2|] jeweils überall das selbe Vorzeichen. Du musst also nur für jedes Intervall einen einzigen f'-Wert berechnen, z.B. für -1, 1 und 3. Die Monotonie gilt dann für das ganze jeweilige Intervall. Vereinfacht geschrieben: f'(-1)==pos (mon. steigend in [-2|0]) f'(1)=neg (mon. fallend in [0|2]) f'(3)==pos (mon. steigend in [2|]) |
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Alles klar, danke für die Antworten. Ich habe noch eine kleine frage. Reicht meine Argumentation der stetigkeit bzw. differentierbarkeit für die Aufgabe oder muss diese genauer sein? |
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> Reicht meine Argumentation der stetigkeit bzw. differentierbarkeit für die Aufgabe oder muss diese genauer sein? Naja, so formuliert ist sie unsauber: Alleine die Stetigkeit reicht ja nicht aus für Differenzierbarkeit, siehe im Nullpunkt. Vielleicht so: ist als Komposition (über die vier Grundrechenarten) von differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar. Potentiell problematisch können dabei allenfalls die vorkommende Division (Divisor 0 darf nicht vorkommen) sowie Wurzelbildung (Radikand sollte positiv sein) sein. Letzteres ist wegen erfüllt, und damit hat auch der Divisor keine Nullstelle. |
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