Differentitation mit Polarkoordinaten

Wie kann man eine Funktion in kartesischen Koordinaten ableiten, wenn man eine einfacher Darstellung in Polarkoordinaten hätte?

Ein Beispiel:${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sqrt{1-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ , hätte in Polarkoordinatendarstellung ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ folgende Darstellung: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sqrt{1-\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Diese will ich jetzt differenzieren und dann wieder auf die kartesische Form zurückbringen. Ist das hier überhaupt sinnvoll und wenn ja wie geht das eigentlich?

Ja das phi hebt sich ja weg, oder?

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sqrt{1-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sqrt{1-\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}=\sqrt{1-\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$. f hängt halt dann gar nicht von phi ab...Aber egal, mein Grundproblem ist ja dass ich nicht genau weiß wie man diese Transformation eigentlich durchführt!

PS: Das ist die obere Kugelhälfte einer Kugel mit Radius 1 im Ursprung

Ok, soweit so gut.

Ich kann also ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sqrt{1-\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ durch die Substitution (?) als ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sqrt{1-\mathrm{r²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ darstellen.

So wenn ich jetzt die 2. Funktion nach r ableite bekomme ich;${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})=-\frac{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})}}$. Nur wie führe ich diese Ableitung jetzt wieder auf f(x,y) nach x bzw. nach y abgeleitet zurück? Da muss ich doch eine innere Ableitung beachten oder nicht??