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Differenz der Quadrate 2 natürlichen Zahlen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, logik

m138034 aktiv_icon

21:57 Uhr, 23.10.2022

hallo, ich bin auf folgende Aussage gestoßen:

Es gibt keine zwei natürlichen Zahlen, sodass die Differenz ihrer Quadrate gleich

10

ist.

Meine 2 Aussagen:

A : a

und

b

sind Elemente de natürlichen Zahlen

B : a^{2} + b^{2}

≠

10

Ich habe dafür eine Fallunterscheidung gemacht. Wenn entweder a oder

b = 0

ist, dann ist der andere Summand = wurzel

10

und ist somit keine natürliche Zahl.
Beim Fall 2 habe ich a und

b > 0

betrachtet, jedoch komme ich weder mit dem indirekten oder Widerspruchsbeweis nicht zum Ergebnis.
Hättet ihr Tipps oder Denkanstöße für mich? Vielen Dank!

Roman-22

22:16 Uhr, 23.10.2022

Warum

a^{2} + b^{2}

wenn um die Differenz geht?

m138034 aktiv_icon

22:19 Uhr, 23.10.2022

ich habe mich da wohl vertippt! danke für den Hinweis, ich schaue wie ichs bei der Frage bearbeiten kann.

p . s :

ich kanns wohl nicht in der Frage verändern. es ist natürlich

a^{2} - b^{2}

≠

10

Roman-22

22:22 Uhr, 23.10.2022

OK, dann soll also

a > b

gelten.
Fällt dir zu

a^{2} - b^{2}

vielleicht auch irgend eine binomische Formel ein?

michaL aktiv_icon

22:24 Uhr, 23.10.2022

Hallo,

einerseits gilt

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

und andererseits

10 = 2 \cdot 5

.

Kommst du von hier ab alleine weiter?

Mfg Michael

m138034 aktiv_icon

22:25 Uhr, 23.10.2022

ich kann mir

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

vorstellen

m138034 aktiv_icon

22:27 Uhr, 23.10.2022

ach, müsste man dann weiter mit der Eindeutigkeit argumentieren? und müsste ich dann auch den Fall

10 = 1 \cdot 10

betrachten?

Roman-22

22:27 Uhr, 23.10.2022

Ja, MichaL hat das inzwischen auch schon gepostet und auch darauf hingewiesen, dass

10 = 5 \cdot 2

ist.
Ich darf zusätzlich noch auf die alternative Zerlegung

10 = 10 \cdot 1

hinweisen.
In beiden Fällen das Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Zahl!
Kannst du damit etwas anfangen?

michaL aktiv_icon

22:30 Uhr, 23.10.2022

Hallo,

@Roman-22: Entschuldige. Als ich schrieb, wurde mir deine Antwort nicht angezeigt. Ich wollte nicht dazwischen grätschen.

Mfg Michael

m138034 aktiv_icon

22:31 Uhr, 23.10.2022

ja, auf jeden Fall! ich danke euch beiden!

Roman-22

22:32 Uhr, 23.10.2022

@MichaL
Kein Problem!
Mir ist in letzter Zeit auch schon aufgefallen, dass eine vor Kurzem abgesetzte Antwort noch nicht angezeigt wird, aber auch der Hinweis, dass gerade geantwortet wird (nach Neuladen der Seite) nicht rechts oben angezeigt wird.

HAL9000

10:35 Uhr, 24.10.2022

Sofern man mit Modulorechnung etwas vertraut ist, kann man auch die Gleichung

a^{2} - b^{2} = 10

hinsichtlich ihrer Lösbarkeit modulo 4 betrachten. D.h. man zeigt dann, dass

a^{2} - b^{2} \equiv 2 mod 4

generell unmöglich ist.

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