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Differenz von Quadratzahlen
Universität / Fachhochschule
Tags: differenz, Quadratzahl
 
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Hallo Ihr, hat jemand eine Idee zur Lösung der folgende Aufgabe: Diejenigen natürlichen Zahlen, die als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar sind, mögen quadrisch genannt werden. Wie viele Zahlen in der Menge . . . sind quadrisch? Habe leider absolut keinen Plan. Danke Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Bilde zunächst mal die Differenzen BENACHBARTER Quadratzahlen wie 1²-0², 2²-1², 3²-2², 4²-3², 5²-4². Was stellst du fest? Damit sind schon mal mindestens die Hälfte der Elemente der Menge {1,2,3,. . . ,2019} von der gesuchten Eigenschaft. Dann erweitere das Suchverfahren auf Differenzen nicht mehr benachbarter Quadratzahlen |
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Hallo, ich würde direkt mit beginnen. Ich finde, der Term schreit einen geradezu an. Offenbar muss man die Parität der Teiler betrachten. (Mehr möchte ich noch nicht verraten.) Versuche damit dein Glück. Mfg Michael |
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Hallo Abakus, hallo Micha danke für eure Beiträge! Das ich alle ungeraden Zahlen im Intervall so darstellen kann, habe ich jetzt verstanden, auch alle durch 4 teilbaren Zahlen sind scheinbar möglich. Aber wie kann ich zeigen, das zum Beispiel usw. nicht darstellbar sind? Geht das mit der binomischen Formel a²-b² Danke |
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> Aber wie kann ich zeigen, das zum Beispiel 2,6,10 usw. nicht darstellbar sind? Diese Zahlen sind durch 2, aber nicht durch 4 teilbar. Bezogen auf die Produktdarstellung bedeutet das, dass ein Faktor gerade sein muss, der andere aber dann zwangsläufig ungerade ist (die eine 2 in der Primfaktorzerlegung landet in genau einem dieser beiden Faktoren sowie ). Das führt nun aber zum Widerspruch - eine Idee, warum? |
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Hallo, 3. binomische Formel ist genau richtig. Stelle dir die einfachen Fälle vor, dass die als Differenz zweier Quadrate darzustellende Zahl als Produkt zwei Faktoren , darstellbar ist, die beide den gleichen Rest mod 2 haben. (Also beide gerade bzw. beide ungerade.) OBdA sei und (mit einem ). (Klar, dass dies genau den Fall gleicher Vorzeichen abbildet?) Es müsste dann ja und gelten. Wie errechnet man daraus die für die Quadratdarstellung notwendigen und ? Wenn du das herausgefunden hast, dann sollte es dir nicht mehr schwerfallen, den Fall mit Teilern verschiedener Parität zu begutachten und dort nachzuweisen, dass so eine Darstellung nicht möglich ist. BTW: Es ist immer eine Frage, ob man zulässt. In meiner Darstellung oben gehe ich davon aus, dass gilt. Mfg Michael |
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an HAL9000: Naja, wenn wäre, dann würde natürlich Null sein, und das Produkt ebenfalls Null. Aber warun kann sein, also der andere Faktor ? |
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Worüber redest du überhaupt? Über die Darstellung der Zahl 2 als ein derartiges Produkt ? Dann folgt aus NICHT sondern , wie ich oben sagte: Eins gerade, eins ungerade. |
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Nein, nicht über die Darstellung der Zahl 2 als Produkt, sondern zum Bsp. die Darstellung der Zahl . Dann wäre ja einer der beiden Faktoren 2 oder 5. Wenn dann gleich zwei wäre, muss sein, dann wäre folglich . Aber was wäre wenn der Faktor 5 wäre ? Sandra. |
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Ich würde mich gar nicht auf die Diskussion einlassen, ob die Faktoren 2 und 5 sind - womöglich sind sie ja auch 1 und 10 ... Wichtig ist nur, dass einer gerade und einer ungerade sein müsste, damit also ihre SUMME immer ungerade. Andererseits ist die Summe der beiden Faktoren aber auch ... fällt jetzt der Groschen? |
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