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Differenz zweier Quadratzahlen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, Teilbarkeit

Clemensum aktiv_icon

12:37 Uhr, 27.04.2011

Aufgabe 1: Löse allgemein: Welche Zahlen sind Differenz zweier Quadratzahlen?

Aufgabe 2: Überprüfe konkret und finde alle Darstellungsmöglichkeiten der Zahl 2009.

Lösung:
Seien alle zu betrachtende Zahlen

\in Z

Seien

x

die zu untersuchende Zahl,

a

die (Quadrat-)Wurzel des Minuenden,

b

die (Quadrat-)Wurzel des Subtrahenden.
Ich betrachte:

(a + k)^{2} - a^{2} = 2 k + k^{2} \Leftrightarrow a = \frac{x - k^{2}}{2 k} = \frac{\frac{x - k^{2}}{k}}{2} \Leftrightarrow k ∣ x \land 2 ∣ (\frac{x}{k} - k)

D.h. Gilt für eine ganze Zahl

x

die Bedingung

k ∣ x \land 2 ∣ (\frac{x}{k} - k),

so lautet der gesuchte Minuend (als Quadratwurzel)

a = \frac{x - k^{2}}{2 k}

und der Subtrahend (als Quadratwurzel) entsprechend

a - k .

Demnach sieht man leicht, dass etwa für 2009 sich die einzigen Darstellungsmöglichkeiten

2009 = 14 7^{2} - 14 0^{2}

2009 = 4 5^{2} - 4^{2}

ergeben, wobei man sich ein irrsinnig langweiliges, unsystematisches Vorgehen erspart hat.

Meine Frage lautet nun:
Bin ich korrekt vorgegangen oder habe ich etwas (wichtiges) übersehen in der allgemeinen Überlegung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

13:00 Uhr, 27.04.2011

Hallo,

alle(!) ungeraden Zahlen sind als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar!
Sei

n := 2 k + 1

eine ungerade Zahl, dann gilt

{(\frac{n + 1}{2})}^{2} - {(\frac{n - 1}{2})}^{2} = (k + 1)^{2} - k^{2} = 2 k + 1 = n

.

Damit musst(!) du was wichtiges übersehen haben, da diese Zerlegung für

2009 = 100 5^{2} - 100 4^{2}

bei dir nicht auftaucht!

Leider finde ich deine Schreibweisen nicht einfach zu lesen (es tauchen immer mal wieder Fehler auf, so wie bei mir sicher auch), daher kann ich nicht sagen, wo du einen Fehler gemacht hast.

Mfg Michael

Quellen: www.zum.de/Faecher/Materialien/dorner/manuskripthtml/quadratsummen/qzsummen.html

M-B-S aktiv_icon

22:57 Uhr, 08.11.2013

Alle Teiler von

2009

1; 7; 41; 49; 287; 2009

\Rightarrow 3

Lösungen

4 \cdot (a \cdot b) = {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}

(1 \cdot 2009) = \frac{{(2010)}^{2}}{4} - \frac{{(2008)}^{2}}{4}

(7 \cdot 287) = \frac{{(294)}^{2}}{4} - \frac{{(280)}^{2}}{4}

(41 \cdot 49) = \frac{{(90)}^{2}}{4} - \frac{{(8)}^{2}}{4}

Nowise aktiv_icon

22:43 Uhr, 04.04.2015

Wir haben doch schon festgestellt, dass es deutlich mehr Lösungen gibt. Die kleinsten gemeinsamen Teiler beschreiben nicht alle Lösungsmöglichkeiten in dieser Fragestellung, da es eben nicht um die Darstellung der Zahl durch Multiplikation geht, sondern um die Darstellung durch die Differenz zweier Quadrate.

Roman-22

23:56 Uhr, 04.04.2015

> Wir haben doch schon festgestellt
So weit ich es erkennen kann, hast du hiezu noch gar nichts festgestellt. Oder ist da etwas an mir vorbeigegangen?

> dass es deutlich mehr Lösungen gibt.
Heißt das, dass du der Meinung bist, dass es noch weitere als die drei vorhin genannten Möglichkeiten gibt, die Zahl 2009 als Differenz von Quadraten ganzer positiver Zahlen darzustellen?
Dann nenne doch bitte wenigstens eine zusätzliche, die nachstehend noch nicht dabei ist.

2009 = 4 5^{2} - 4^{2} = 14 7^{2} - 14 0^{2} = 100 5^{2} - 100 4^{2}

Ich fürchte allerdings, du wirst keine weitere Möglichkeit finden, auch wenn du der Meinung warst, dass es "deutlich mehr" Lösungen gibt.

> Die kleinsten gemeinsamen Teiler beschreiben nicht alle Lösungsmöglichkeiten
Es scheint deiner Aufmerksamkeit entgangen zu sein, dass hier niemand, weder M-B-S noch michaL einen kleinsten gemeinsamen Teiler erwähnt hat und auch in der teilweise falschen und recht chaotischen Ausführung des Fragestellers lese ich diesbezüglich nichts heraus. Wovon sprichts du also??

> da es eben nicht um die Darstellung der Zahl durch Multiplikation geht,
> sondern um die Darstellung durch die Differenz zweier Quadrate.

Bravo! Gut erkannt, worum es geht. Allerdings ist dir entgangen, dass du die Darstellung als Quadratdifferenz eben genau durch die Faktorisierung der Zahl bekommst. Das kann man bei schlechten Licht und sehr viel gutem Willen sogar den Ausführungen des Fragestellers entnehmen und ist auch in der Antwort von M-B-S nachzulesen.

Unter Benutzung der vom Fragesteller eingeführten Bezeichner hier eine etwas andere Herleitung:

Die ganze Zahl

x

soll als Differenz der Quadrate zweier positiver ganzer Zahlen

b

und

a

dargestellt werden, also

x = b^{2} - a^{2}

.
Unter Verwendung der dritten binomischen Formel gilt nun

x = b^{2} - a^{2} = (b - a) \cdot (b + a)

.
Führt man nun die Abkürzung

b - a = k

ein, so folgt

b = a + k

und damit

(b + a) = (2 a + k)

.
Letztendlich sind wir also bei

x = k \cdot (2 a + k)

gelandet.
Für JEDE Zerlegung von

x

in die Differenz zweier Quadrate

b^{2} - a^{2}

gilt also, dass die Differenz

k

von

b

und

a

ein Teiler von

x

sein muss und zwar ist es bei Faktorisierung von

x

in genau zwei Faktoren der kleinere der beiden Faktoren (

2 a + k

wird, da

a

positiv ist, ja wohl größer als

k

sein müssen).

Da es nun nur drei verschiedene Zerlegungen von

2009

in zwei Faktoren gibt

2009 = 1 \cdot 2009 = 7 \cdot 287 = 41 \cdot 47

,
gibt es auch nur die oben angegebenen drei Möglichkeiten,

2009

als Differenz zweier Quadratzahlen zu schreiben.

Gruß R

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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