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Differenzengleichung mit geometrischer Reihe lösen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

ray11 aktiv_icon

10:40 Uhr, 06.05.2018

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe und weiß leider nicht wie ich hier heran gehen muss/soll:
Die Differenzen

x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b; x_{0}

beschreibt einen dynamischen Prozess.
Zeige unter Verwendung der Summenformel der endlichen geometrischen Reihe: Für

a \neq 1

lautet die (explizite) Lösung dieser Differenzengleichung:

x_{n} = a^{n} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n}}{1 - a} (n = 1,2,3, ...)

Ich hoffe es kann mir jemand mit einem Ansatz helfen.
Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Respon

10:51 Uhr, 06.05.2018

Bilde explizit ein paar Folgeglieder und du erkennst das Schema.

x_{0}

x_{1} = a \cdot x_{0} + b = a^{1} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{1}}{1 - a}

x_{2} = a^{2} \cdot x_{0} + b (1 + a) = a^{2} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{2}}{1 - a}

x_{3} = a^{3} \cdot x_{0} + b \cdot (1 + a + a^{2}) = a^{3} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{3}}{1 - a}

. .

.
Beweis

z . B

. mit VI

ray11 aktiv_icon

20:02 Uhr, 06.05.2018

Danke für deine Antwort.
Wie kommst du von

x_{1} = a \cdot x_{0} + b = a^{1} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{1}}{1 - a}

?
Und was hat das mit der endlichen geometrischen Reihe zu tun?

Respon

20:22 Uhr, 06.05.2018

1 + a + a^{2} + ... + a^{n - 1} = \frac{1 - a^{n}}{1 - a}

Respon

20:56 Uhr, 06.05.2018

Wo liegen noch die Probleme ?
Nach mehr als

10

Stunden sollte man dieses Beispiel doch endlich zu einem Abschluss bringen.

ray11 aktiv_icon

21:03 Uhr, 06.05.2018

Ich verstehe irgendwie den Zusammenhang nicht wie man auf das kommt.

: (

Respon

21:09 Uhr, 06.05.2018

Das Bildungsgesetz deiner Folge lautet:

x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b

Die Behauptung lautet:

x_{n} = a^{n} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n}}{1 - a}

Hinweis: endliche geometrische Reihe - als bekannt kann also vorausgesetzt werden

1 + a + a^{2} + . .

+ a^{n - 1} = \frac{1 - a^{n}}{1 - a}

Für die ersten 3 Glieder der Reihe läßt sich die Behauptung verifizieren ( siehe oben

),

für den allgemeinen Beweis

z . B

. die vollständige Induktion verwenden.

ray11 aktiv_icon

21:49 Uhr, 06.05.2018

Ok danke, jetzt habe ich das zumindest verstanden.

Habe versucht es mit VI zu lösen:

Behauptung ist ja

x_{n} = a^{n} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n}}{1 - a}

für

1 : x_{1} = a \cdot x_{0} + b = a^{1} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{1}}{1 - a}

stimmt es schon mal

für

n + 1 : x_{n + 1} = a^{n + 1} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}

Jetzt hätte ich versucht das n-te Glied herzuziehen um danach einsetzen zu können:

x_{n + 1} = x_{n} + x_{1} = a^{n} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n}}{1 - a} + x_{1} = a^{n} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n}}{1 - a} + a \cdot x_{0} + b =

a^{n + 1} \cdot x_{0} + b (\frac{1 - a^{n}}{1 - a} + 1)

...aber wie gehts jetzt weiter oder war das schon ein falscher Ansatz?

Respon

06:17 Uhr, 07.05.2018

Rekursives Bildungsgesetz

x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b

Sei die Behauptung für

n

schon bewiesen, also

x_{n} = a^{n} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n}}{1 - a}

x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b = a \cdot [a^{n} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n}}{1 - a}] + b = a^{n + 1} \cdot x_{0} + b \cdot [\frac{a - a^{n + 1}}{1 - a} + 1] = a^{n + 1} \cdot x_{0} + b \cdot \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}

. .

. und das ist genau die Behauptung für

n + 1

ray11 aktiv_icon

19:13 Uhr, 07.05.2018

Danke, ich hab da wohl einen kleinen Denkfehler gehabt. Vielen Dank für die Hilfe.
Hab es jetzt auch verstanden. :-)

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