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Differenzenquotient, Mehrdimensional

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Mehrdimensional

Floriannnn aktiv_icon

11:52 Uhr, 06.02.2017

Hallo Leute,

eine Klausuraufgabe(B2) war folgende:

f (x, y, z) = (x \cdot e^{y} \cdot z^{2})

Bestimmen sie die partiellen Ableitungen

f_{x}, f_{y}, f_{z}

mit Hilfe der Differenzenquotienten.

Differenzenqoutient:

f' (x) = lim_{x \to x_{0}} (\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}})

Wie verwende ich hier den Differenzenqoutienten? was setzte ich für

x,

bzw.

x_{0}

ein?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

12:01 Uhr, 06.02.2017

. .

. je nach dem, wonach du ableitest!

nach

x,

dann

\frac{f (x, y, z) - f (x_{0}, y, z)}{x - x_{0}}

nach

y,

dann

\frac{f (x, y, z) - f (x, y_{0}, z)}{y - y_{0}}

nach

z,

dann

\frac{f (x, y, z) - f (x, y, z_{0})}{z - z_{0}}

. .

. die jeweils anderen Variablen werden wie eine beliebige Konstante behandelt.
;-)

Floriannnn aktiv_icon

12:25 Uhr, 06.02.2017

Vielen Dank Eddie.

Kannst du bitte mal eine Ableitung mit den Werten eingesetzt hinschreiben?

Die allgemeine Form wird wohl nicht als Lösung ausreichen und ich verstehe immer noch nicht, was genau ich einsetze. Das Ableiten an sich kann ich, nur diese Formel...

Ist

f (x_{0}, y, z)

deine Ableitung nach

x

oder wie?

Floriannnn aktiv_icon

12:58 Uhr, 06.02.2017

In einer anderen Aufgabe mit Differenzenquotient rechnet er mit der "H-Methode".
Kann man da beide Rechenwege anwenden ?

H-Methode:

lim_{h \to 0} \frac{(f (x + h) y) - f (x)}{h}

Edddi aktiv_icon

14:37 Uhr, 06.02.2017

. .

. ja, da sollte das Gleiche rauskommen.

Beispiel:

\frac{δ f (x, y, z)}{δ x}

= lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x, y, z) - f (x_{0}, y, z)}{x - x_{0}}

= lim_{x \to x_{0}} \frac{x e^{y} z^{2} - x_{0} e^{y} z^{2}}{x - x_{0}}

= lim_{x \to x_{0}} e^{y} z^{2} \cdot \frac{x - x_{0}}{x - x_{0}} = e^{y} z^{2}

bzw:

\frac{δ f (x, y, z)}{δ x}

= lim_{h \to 0} \frac{f ((x + h), y, z) - f (x_{0}, y, z)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{(x + h) e^{y} z^{2} - x e^{y} z^{2}}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{x e^{y} z^{2} + h e^{y} z^{2} - x e^{y} z^{2}}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{h e^{y} z^{2}}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{h}{h} e^{y} z^{2} = e^{y} z^{2}

;-)

Floriannnn aktiv_icon

14:56 Uhr, 06.02.2017

Super vielen Dank. War ja gar nicht so schwer :-)

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