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Differenzialgleichung Anfangswertproblem

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen Anfangswertproblem

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22:27 Uhr, 14.07.2017

Ich soll folgendes Anfangswertproblem lösen und den maximalen Definitionsbereich angeben:

y' (x) = \frac{y (x)}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2} (x)}

y (1) = 1

Einfach die Stammfunktion bilden bringt mich nicht weiter. Wir kennen auch die Methode: Variation der Konstanten, nur weiß ich nicht wie und ob ich die überhaupt anwenden kann.
Und wir haben eine Formel für separable Funktionen kennengelernt, nur ist die DGL nicht separabel.

Wie kann ich das Anfangswertproblem lösen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:30 Uhr, 14.07.2017

Hier hilft die Substitution

u := y / x

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22:34 Uhr, 14.07.2017

Ich sehe leider nicht, wie mir das weiterhelfen soll.

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22:37 Uhr, 14.07.2017

Danach kann man Variablen trennen:

u^{ʹ} x = - 1 / u^{2}

- u^{ʹ} u^{2} = 1 / x

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22:51 Uhr, 14.07.2017

Nach dem Substituieren bekomme ich:

\frac{d y}{d x} = u - \frac{x^{2}}{y^{2}}

und jetzt kann ich doch mit

d x

und

y^{2}

multipiezieren.

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22:54 Uhr, 14.07.2017

Du substituierst falsch.

u = y / x

y = u x

y^{ʹ} = x u^{ʹ} + u

und weiter musst Du

y / x

durch

u

und

x^{2} / y^{2}

durch

1 / u^{2}

ersetzen.
Das Ergebnis ist dann

x u^{ʹ} + u = u - 1 / u^{2}

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23:12 Uhr, 14.07.2017

Also:

x

du/

d x + u = u - \frac{1}{u^{2}}

\Leftrightarrow

u^{2} = - \frac{1}{x} d x

\Leftrightarrow \int_{1}^{x} u^{2}

= - \int_{1}^{x} \frac{1}{x} d x

\Leftrightarrow \frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{3} 1^{3} = - ln | x | + ln (1)

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23:45 Uhr, 14.07.2017

Ja, aber das geht noch weiter. Du kannst nach

u

auflösen und dann resubstituieren.

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00:01 Uhr, 15.07.2017

So?

\frac{1}{3} {(\frac{y}{x})}^{3} = \frac{1}{3} - ln | x |

\Leftrightarrow y^{3} = x^{3} - 3 ln | x |

\Leftrightarrow y = \sqrt[3]{x^{3} - 3 ln | x |}

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00:53 Uhr, 15.07.2017

Ja, so.

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10:40 Uhr, 16.07.2017

Vielen Dank . Hat mir sehr geholfen.

rundblick aktiv_icon

10:51 Uhr, 16.07.2017

.
"Ja, so."

\to

NEIN

! -

das Ergebnis bei

y = .

. ist leider falsch..

nebenbei:
->weiter oben :
die alten Grenzen des bestimmten Integrals
nach gemachter Substitution unverändert beizubehalten, ist auch nicht korrekt

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10:54 Uhr, 16.07.2017

Dann korrigiere es, oh Du Allwissender!

rundblick aktiv_icon

10:59 Uhr, 16.07.2017

.
"Dann korrigiere es, oh Du Allwissender!"

gerne, du Alleskönner:
Tipp:
versuche einmal mit

x^{3}

richtig durch Multiplikation
von der ersten zur zweiten Zeile zu kommen
und nimm dann deine abschätzige Bemerkung zurück
danke.

.

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11:07 Uhr, 16.07.2017

Ich meine nicht, dass Du falsch liegst. Natürlich hast Du Recht in diesem Fall.
Ich meine nur, dass normale Menschen in so einem Fall nicht nur "falsch" schreien, sondern sofort auch korrigieren.
Aber das ist wohl zu viel verlangt.

rundblick aktiv_icon

11:24 Uhr, 16.07.2017

.
nun, das "Nein!"- Geschrei galt dir zu deinem ""Ja, so."
das wohl ohne genaue Ergebnis-Sichtung abgegeben wurde...

aber es scheint "wohl zu viel verlangt" die Korrektur
von dir zu erwarten..
ok - sollte halt nur ein ( offenbar) misslungener aber
friedlich gemeinter Hinweis sein-> "y=.. ist leider falsch.."
- sorry.

.

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11:30 Uhr, 16.07.2017

Das richtige Ergebnis ist

y = x \sqrt[3]{1 - 3 \ln (x)}

, der maximale Definitionsbereich ist

(0, \infty)

rundblick aktiv_icon

11:40 Uhr, 16.07.2017

.
und was meinst du dazu

\to

y = x \cdot \sqrt[3]{1 - 3 \cdot ln | x |} ... ...

. und

D =

??

?
.

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11:43 Uhr, 16.07.2017

Wir haben das Anfangswertproblem

y (1) = 1

. Also brauchen wir den Bereich, in dem

1

liegt.
Der Bereich

(- \infty, 0)

scheidet also aus. Wir können doch nicht über Null springen, der Bereich muss zusammenhängend sein.

rundblick aktiv_icon

11:59 Uhr, 16.07.2017

y' = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}

"Wir können doch nicht über Null springen"

? ?

ausser

x \neq 0

sollte vielleicht auch

y \neq 0

sein ? .. oder sehe ich das falsch?

wie springen wir dann bei deinem

y = x \cdot \sqrt[3]{1 - 3 \cdot ln (x)}

über

x = e^{\frac{1}{3}}

?

.

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12:01 Uhr, 16.07.2017

Ah, guter Hinweis, Danke.
Ich habe die Gleichung aus den Augen verloren.

Also muss

3 \ln (x) < 1

sein, oder

x < e^{1 / 3}

. Damit der Bereich

(0, e^{1 / 3})

.
Richtig?

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12:02 Uhr, 16.07.2017

Sorry, Momfred, ich habe ein paar wichtige Punkte vorgestern übersehen.

Momfr3d aktiv_icon

12:04 Uhr, 16.07.2017

Trotzdem Danke. Der Ansatz hat mir am meisten Schwierigkeiten gemacht.

Momfr3d aktiv_icon

12:05 Uhr, 16.07.2017

Trotzdem Danke. Der Ansatz hat mir am meisten Schwierigkeiten gemacht.

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