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Differenzialgleichung erster Ordnung, Elastizität

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Elastizität, Gewöhnliche Differentialgleichungen

zana- aktiv_icon

12:18 Uhr, 08.05.2016

Hallo meine Lieben,

ich möchte gerade eine Aufgabe lösen und bin mir bei der Bearbeitung jedoch etwas unsicher.

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Für die Elastizität

E (x)

einer Nachfragefunktion

f

sei bekannt, dass

E (x) = 5 - 3 x

mit

x > 0

gilt.

a)

Bestimmen Sie alle Nachfragefunktionen

f,

die diese Elastizität besitzen.

Ich habe so angefangen:

E (x) = 5 - 3 x = f' \frac{x}{f (x)} \cdot x

also habe ich durch

x

geteilt

d . h

. ich erhalte

f' \frac{x}{f (x)} = \frac{5}{x} - 3

und jetzt bin ich nämlich verwirrt, wegen der 3.

Normalerweise würde ich jetzt mit

f (x)

multiplizieren und dann das gesamte Rechte Paket von

f' (x)

abziehen, sodass die Gleichung Homogen also vom Grade 0 ist.

Aber irgendwie bin ich mir nicht sicher, da ja die 3 so nicht mehr von

X

abhängt, aber wenn ich diese mit

f (x)

multipliziere wiederum schon. Könnte es also sein dass

- 3

mein Grad ist oder stimmt meine erste Vermutung?

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

13:13 Uhr, 08.05.2016

>

da ja die 3 so nicht mehr von

X

abhängt, aber wenn ich diese mit

f (x)

multipliziere wiederum schon.
Ja, und? Die 3 selbst hängt natürlich auch danach nicht von

x

ab. 3 bleibt 3.

>

und dann das gesamte Rechte Paket von f′(x) abziehen
?????

>

Könnte es also sein dass

- 3

mein Grad ist
?????

>

oder stimmt meine erste Vermutung?
welche wäre das gewesen?

Ich verstehe deine Verwirrung nicht, aber ich weiß auch nicht, welche Differentialgleichungen du bisher wie gelöst hast. Was du da von Paketen abziehen und Graden schreibst klingt jedenfalls recht abenteuerlich.

Du hast hier eine Differentialgleichung (ich schreibe mal

y

anstelle von

f (x),

vielleicht kommt dir die Sache dann etwas bekannter und freundlicher vor)

\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} - 3

vorliegen, die leicht durch Trennen der Variablen

\frac{d y}{y} = (\frac{5}{x} - 3) d x

und anschließender beidseitiger Integration

\int \frac{d y}{y} = \int (\frac{5}{x} - 3) d x

gelöst werden kann.

Zu deiner Kontrolle: Die Nachfragefunktion ist

f (x) = C \cdot \frac{x^{5}}{e^{3 x}}

R

zana- aktiv_icon

10:21 Uhr, 10.05.2016

okay ich glaube ich habe es jetzt.

\frac{5}{x} - 3 = f' \frac{x}{f (x)}

f' (x) - (\frac{5}{x} - 3) \cdot f (x) = 0

r (x) = 0

q (x) = (\frac{5}{x} - 3)

Q (x) = 3 x - 5 \cdot ln (x)

f (x) = e^{- Q (x)} \cdot c

f (x) = c \cdot e^{- 3 x + {ln (x)}^{5}}

f (x) = c \cdot \frac{x^{5}}{e^{3 x}}

Stimmt das jetzt so?

ledum aktiv_icon

19:53 Uhr, 10.05.2016

Das hatte

R

doch schon gesagt???

zana- aktiv_icon

21:12 Uhr, 10.05.2016

Ich meine den Rechenweg! Aber danke für die unnötige Überheblichkeit Mrs. Perfect.

: \cdot

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