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Differenzialgleichung ich verstehe nichts

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

ironmaratos aktiv_icon

20:37 Uhr, 17.09.2009

Hallo,

ich habe mit diesem Thema begonnen, tue mir aber sehr schwer dabei.
Vorallendingen die Vorgehensweise ist mir weitenst unklar.

Ich habe hier eine Bsp-Aufgabe, die wie folgt lautet:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

(1 +

ex )⋅

y

⋅

y' =

ex.

ironmaratos aktiv_icon

20:40 Uhr, 17.09.2009

Sorry, die Aufgabe lautet:

1 + e^{x}

)⋅

y

⋅

y' = e^{x}

lepton

20:43 Uhr, 17.09.2009

Was steht denn da als Rechenzeichen in der Gleichung?

Soll das Multiplikation sein?

Sina86

20:50 Uhr, 17.09.2009

Hi,

du hast Glück, du hast das Produkt von Funktionen :-)
Hier kann man zimlich einfch mit der Methoder der Trennung der Variablen arbeiten. Voraussetzung dafür ist, dass man alles was mit

y

zu tun hat auf einer Seite und den Rest auf der anderen Seite stehen hat. Zudem muss

y

mit

y ʹ

irgendwie in einem Produkt stehen...

Also:

(1 + e^{x}) \cdot y \cdot y ʹ = e^{x} \Leftrightarrow y \cdot y ʹ = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}

jetzt kannst du

y ʹ

durch die sogenannten Differentialformen ersetzen:

y ʹ = \frac{d y}{d x}

y \cdot y ʹ = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \Leftrightarrow y \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}

Nun multiplizieren wir

d x

auf die andere Seite:

y \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \Leftrightarrow y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x

Nun wird auf beiden Seiten integriert:

\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot y^{2} + c_{1} = \log (1 + e^{x}) + c_{2} \Leftrightarrow y^{2} = 2 \log (1 + e^{x}) + 2 \cdot (c_{2} - c_{1})

mit

c_{1}, c_{2} \in ℝ

und mit

2 \cdot (c_{2} - c_{1}) = : c

y^{2} = 2 \log (1 + e^{x}) + 2 \cdot (c_{2} - c_{1}) \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{2 \log (1 + e^{x}) + c}

mit

c \in ℝ

Das sind die Lösungen...

Lieben Gruß
Sina

ironmaratos aktiv_icon

18:40 Uhr, 18.09.2009

Hallo,

vielen Dank für die schnelle und tolle Lösung der Aufgabe.
Ich kanns nachvollziehen, allerdings wäre ich nicht alleine darauf gekomnmen.
Wo es bei mir noch hapert ist die Vorgehensweise. Ist diese immer gleich?

Was hat es

z

.Bsp mit der Differenzialgleichung 1. und 2. Ordnung auf sich, wie unterscheide ich diese? Das ist ja eine Grundlage, die ich von Anfang an nicht verstanden habe. Auch die ganzen Variationen von homogen/inhomogen/partikulären´/gewöhnlichen Differenzialgleichung irritieren mich.

Beste Grüße
Tobi

Sina86

22:08 Uhr, 18.09.2009

Hi Tobi,

nein, das Vorgehen ist leider nicht immer dasselbe, das hängt immer stark von der zu lösenden DGL ab, es gibt aber Verfahren die bei bestimmten DGLs immer klappen (Stichwort "Variation der Konstanten" bei linearen DGL). Such mal im Forum, hier wurden in letzter Zeit öfters DGLs gerechnet. Leider kann man es wohl nicht anders lernen als viele Beispielaufgaben zu rechnen ;-)

Die Ordnung einer DGL erkennst du an der Ordnung der höchsten Ableitung. Kommt in der DGL eine erste Ableitung vor, hast du eine DGL 1. Ordnung, kommt eine zweite Ableitung vor, hast du eine DGL 3. Ordnung.

homogen:
Eine Gleichung heißt homogen, wenn die rechte Seite der Gleichung Null ist. Wenn also in einer DGL ein Term vorkommt wie z.B.

e^{x} + x

oder so (also, wo kein dranmultipliziertes y vorkommt), dann ist eine DGL nicht homogen.

inhomogen:
Nicht homogen :-)

homogene Lösung:
Lösung

y

einer homogenen DGL (erkennbar durch Variablen, die in der Lösung vorkommen).

partikuläre Lösung:
die Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus einer homogenen Lösung und einer partikulären Lösung zusammen (in letzterer kommen keine Variablen vor). Dabei wird die homogene Lösung erstellt, indem man einfach den Term ohne y, der in der DGL vorkommt wegläßt und die DGL dann löst. Anschließend muss man die partikuläre Lösung über eine geeignete andere Vorgehensweise bestimmen.

gewöhnliche DGL:
Die gesuchte Lösungsfunktion

y

ist nur von einer Variablen abhängig, also z.B.

y (x)

.

partielle DGL:
Die gesuchte Lösungsfunktion ist von mehreren Variablen abhängig also,

y = y (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n})

. Dementsprechend können in der DGL auch partielle Ableitungen nach einer der Variablen auftauchen, also

\frac{d f}{d x_{1}}

\frac{d f^{2}}{d^{2} x_{1}}

etc. Die Ordnung einer partiellen DGL bestimmt sich nach der höchsten vorkommenden Ordnung irgendeiner partiellen Ableitung. Partielle DGLs sind seeeeehr schwer zu lösen...

Lieben Gruß
Sina

OmegaPirat

22:26 Uhr, 18.09.2009

Bei DGL 1. Ordnung hast du noch den Vorteil, dass man sie meistens separieren kann.
In gewöhnliche Differentialgleichungen findet man sich schnell rein.
Zumindest für lineare Differentialgleichungen

n

.ter Ordnung existiert ein systematisches Lösungsverfahren, ich meine dieses Verfahren bei dem man den differentialoperator, der die DGL generiert als Polynom auffasst und diesen faktorisiert.
Bei nicht linearen DGL hilft im Allgemeinen alles nichts, man muss dafür ein Auge haben. Mit viel Übung und Erfahrung bekommt man aber auch nicht-lineare DGL in den Griff, wobei viele DGL auch nur numerisch lösbar sind.
Gängige Methoden sind halt Separation, Variation der Konstanten, Exponentialansatz, Potenzreihenansatz, Ähnlichkeitsansatz, Faktorisierung des Differentialoperators, Laplace-Transformation, Greensfunktion
Die beiden letzteren sind schon was für Fortgeschrittenere.

Was die partiellen DGL angeht, muss ich Sina zustimmen. Die habens in sich.
Lösungsverfahren die ich kenne sind: Separation der Unabhängigen in ein Produkt, geeignete Koordinatentransformation

(z . B

. bei der wellengleichung), Fouriertransformation (bspw. bei der Diffusionsgleichung), Greensfunktion.
Bis auf die erste Methode (welche meistens nur zu speziellen lösungen führt) sind alle Methoden in der Regel sehr schwer durchführbar.

ironmaratos aktiv_icon

17:49 Uhr, 20.09.2009

Hallo,

ich danke euch vielmals! Ich denke ich bekomme den Kram so langsam in den Griff.

Noch eine Verständnisfrage:

Ich soll die Lösung der Anfangswertaufgabe bestimmen.

Bedeutet das, dass ich die Konstante

C

bestimmen soll?

Hier nochmal das Beispiel:

Y´=(2y+1)cotx, mit

y (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

In diesem Fall muss ich doch dann für

x = \frac{π}{4}

und für

y = \frac{1}{2}

einsetzen?

Vielen Dank für die Mühe

Tobi

Sina86

20:27 Uhr, 20.09.2009

Hm, ja, beim Anfangswertproblem berechnet man mithilfe des Anfangswertes die Konstante

C

. Aber wo kommt denn jetzt dieses Beispiel von

y ʹ

her?

Eigentlich kommt in der Lösung der DGL eine Konstante vor. Jetzt müsstest du also bei der Lösung

y

den Funktionswert

\frac{π}{4}

einsetzen und dann

C

so bestimmen, dass genau

\frac{1}{2}

rauskommt.

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