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Differenzialrechnung

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Änderungsrate, Differentialquotient, Differenzenquotient, Grenzwert, lim, Lokale Änderungsrate, mittlere Geschwindigkeit, momentane Änderungsrate, momentangeschwindigkeit, Sekantensteigung, Tangentensteigung

Hillary aktiv_icon

17:55 Uhr, 15.05.2020

Könnte mir jemand bitte, das ganze Thema rund um den Differenzenqoutient erklären. Mit Limes, Differenzen und Differntialquotien, die mittlere und momentane Änderungsrate und die mittlere und momentangeschwindigkeit.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
Tangente / Steigung
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

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\frac{0}{0}

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gaubes aktiv_icon

19:36 Uhr, 15.05.2020

Limes heißt Grenzwert
Differenzen sind Ergebnisse einer Minusaufgabe
Differentialquotient beschreibt meistens

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

damit kannst du die momentane Änderungsrate berechnen und wenn du ein Steigungsdreieck anlegst berechnest du damit die mittlere Änderungsrate
Geschwindigkeit macht hingegen nur im Sachkontext Sinn.

Ich vermute mal, dass dir diese Antwort wenig geholfen hat, da du die Begriffe auch einfach in einem Mathebuch zum Thema nachlesen könntest, daher würde ich dich bitten deine Fragen zu konkretisieren.

Atlantik aktiv_icon

15:29 Uhr, 16.05.2020

Schau mal hier:

www.mathebibel.de/differentialquotient

mfG

Atlantik

Hillary aktiv_icon

17:02 Uhr, 16.05.2020

Was sind Differenzen und Differentialquotient und was kann man sich mit ihnen ausrechnen?
Wie kommt man von der mittleren Geschwindigkeit zur Monentangeschwindigkeit?
Wie kommr man von der mittleren zur momentanen Änderungsrate?

ledum aktiv_icon

16:57 Uhr, 17.05.2020

Hallo
erstmal zur Frage, was kann man mit dem Differenhzenquotienten eine funktion ausrechnen: Man berechnet die Steigung einer Sehne bzw Sekante, zwischen den Punkten

(x_{0}, f (x_{0})

und eine Punkt

(x_{1}, f (x_{1}))

meistens einem Punkt

x 1

der um

h

größer (oder kleiner ist als

x_{0})

also

x_{1} = x_{0} + h

dabei kann

h

positiv und negativ sein. damit beschreibt man die durchschnittliche Steigung der Kurve. Nun DEFINIERT man die Steigung in eine Punkt der Kurve als den Grenzwert diese Steigung wenn

x 1

immer näher an

x_{0}

rückt, bzw wenn

h

immer kleiner wird. Diesen Wert nennt man dann den Momentanwert der Steigung oder Steigung der Tangente. (wenn man diesen Wert bestimmen kann
einfaches Beispiel

f (x) = x^{2}

ich will die Steigung bei 1
Durchschnitts Steigung zwischen

(0,0)

und

({1,1}^{2}) : m = \frac{1^{2} - 0^{2}}{1 - 0} = 1

Durchschnitts Steigung zwischen

(1,1)

und

({2,2}^{2}) : m = \frac{4 - 1}{2 - 1} = 3

jetzt kleinerer Abstand

: h = \frac{1}{4}

Durchschnitts Steigung zwischen

(\frac{3}{4,0} {,75}^{2})

und

({1,1}^{2}) : m = \frac{1,^{2} - 0 . 75^{2}}{1 - 0,75} = 1,75

Durchschnitts Steigung zwischen

(1,1)

und

(1 . 25,1 {,25}^{2}) m = ({1,25}^{2} - 1^{2}) (1,25 - 1) = 2,25

wenn man so weiter macht, vielleicht hast du Lust es für

1 - 0,01

und

1 + 0,01

auszurechnen n#hert man sich immer mehr der 2
dann rechnet mal statt mit Zahlen mit einem allgemeinen

h

. also
Durchschnitts Steigung zwischen

(1,1)

und

(1 + h, (1 + h^{2})) m = \frac{{(1 + h)}^{2} - 1^{2}}{h} = \frac{1 + 2 h + h^{2} - 1}{h} = \frac{2 h + h^{2}}{h} = 2 + h

man sieht je kleiner

h

(positiv oder negativ) wird umso genauer wird das 2 also sagen wir der "Grenzwert" für gegen 0 IST 2 und die Tangenten Steigung im Punkt

(1,1)

des Graphen vin

f (x) = x^{2}

ist 2.
Die Rechnung für andere Funktionen ist meistens rechenintensiver. aber die Idee ist immer dieselbe, wenn du statt dem Punkt

(1,1)

einen Punkt

(x_{0}, x_{0}^{2})

nimmst findest du die Steigung

m = 2 x_{0}

jetzt lies das 2 mal langsam, dann stell Fragen dazu. Klar muss sein: was die "momentane" Steigung, bzw die Steigung in einem Punkt ist wird definiert aber auf die einzig mögliche Art, die vernünftig scheint. Messen dagegen kann man immer nur Durchschnittssteigungen auf möglichst kleinen Strecken.
zur Momentangeschwindigkeit: Auch hier kann man nur Durchschnittsgeschwindigkeiten messen: zurückgelegtes Wegstüch durch die dazu benötigte Zeit. trotzden willst du wissen welche Geschwindigkeit ein stein beim Auftreffen auf deinen Kopf hat genau im Moment des auftreffend

z . B

. wenn du weisst, dass der Weg, etwa beim Fallen

s = 5 \frac{m}{s^{2}} \cdot t^{2}

ist, welche Geschwindigkeit hat er nach genau

1 s,

oder

2 s

usw. wieder lasst man die Zeitdifferenzen in denen man die Durchschnitsgeschwindigkeiten berechnet immer kleiner werden, und weil wier das mit

x^{2}

bzw

t^{2}

schon gemacht haben. wissen wir jetzt

v = 5 \frac{m}{s^{2}} \cdot 2 t

nach der Zeit

t,

und nennen das die Momentangeschwindigkeit.
etwas klarer. sonst frag noch mal

leduart

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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