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Differenzierbarkeit
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle
 
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Meine Frage bezieht sich auf die Differenzierbarkeit einer stetigen Funktion . Sei I Teilmenge stetig Dann ist im Punkt diffbar wenn der Differenzquotient existiert. Jedoch was ist mit dem Grenzwert? Mein Tutor hatte eine weitere Definition verwendet in der es heißt ist in diffbar wenn im inneren von I und der Grenzwert des diff-quotienten existiert. Heißt dass das der Grenzwert des diffquotienten auf dem Rand von I nicht existiert? Wenn der Grenzwert auf dem Rand liegt, kann er nur aus I heraus (und damit nur einseitig) angenähert werde, aber mehr habe ich mir dazu nicht denken können. Also warum sollte eine abgeschlossene Menge am Rand nicht differenzierbar sein? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Ich wäre sehr froh über eine Antwort |
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Irgendein netter Helfer da? :-) |
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nicht ganz: ist differenzierbar, wenn der differentialquotient existiert, nicht der differenzenquotient! ersterer ist der grenzwert von zweiterem, da steckt also dein grenzwert drin. eine funktion (zum Beispiel) ist, wenn sie differenzierbar ist, nur auf stetig. warum? zwei begründungen, versuch dich mal damit: geometrisch: versuch mal, am rand eines definitionsbereich eine eindeutige tangente zu zeichnen (hängt ja eng mit dem differenzieren zusammen) über grenzwerte: du kennst sicher links- und rechtsseitige grenzwerte. bekanntlich existieren grenzwerte, wenn der links- und rechtsseitige grenzwert übereinstimmen. naja, bei obiger funktion, was ist denn da mit dem linksseitigen grenzwert wenn gegen a geht (oder rechtsseitig, wenn gegen ? generell zu merken: eine funktion kann nur im inneren differenzierbar sein, nie in den randpunkten des definitionsintervalls! grüße |
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Achso, also so wie ich vermutet habe. Ich war mir da nicht sicher, aber da ein Grenzwert existiert sobald er links und rechtsseitig der selbe ist und auf dem Rand nur einseitige Überprüfung möglich ist, ist der Grenzwert natürlich nicht eindeutig. Ja natürlich... vielen dank :-) |
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Zu:
"generell zu merken: eine funktion kann nur im inneren differenzierbar sein, nie in den randpunkten des definitionsintervalls!" Hierzu Die Ableitung kann, falls die einseitigen Grenzwerte der Differenzenquotienten existieren,auf den Rand fortgesetzt werden (sog. rechts-bzw.linksseitige Ableitung). .Bsp: bei f´(1):= 0 kann dagegen nicht fortgesetzt werden. Zu: "eine funktion f:a,b]→ℝ (zum Beispiel) ist, wenn sie differenzierbar ist, nur auf stetig." Hierzu: "wenn sie differenzierbar ist"- sicherlich ist gemeint differenzierbar in Die Aussage stimmt nicht. Trivialbeispiel: MfG |
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ja stetig & differenzierbar hab ich natürlich verwechselt,... zum rest: mag sein, spielt in dem zusammenhang aber untergeordnete rolle, denk ich mal - das wesentliche ist schon, dass im normalfall randpunkte ausgenommen werden wobei deine beispiele natürlich richtig sind |
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