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Differenzierbarkeit Stetigkeit

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Differentiation

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Stetigkeit

Jantscher aktiv_icon

13:50 Uhr, 07.03.2020

Hallo, folgende Funktion ist gegeben

f (x) = \sqrt{x^{5} - x^{3}}

Aufgabe:
Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und geben sie die Ableitung an den Stellen an, an welchen es existiert. Ist

f

an Stelle

x = 1

oder

x = - 1

oder

x = 0

einseitig differenzierbar?

Ich habe natürlich mit Definitionsbereich begonnen dieser ist

[- 1,0]

oder

[

1,inf)

Stetigkeit: Die Funktion

f

ist stetig auf ihrem Definitionsbereich.

Differenzierbarkeit: f´(x)=

\frac{\frac{5}{2} \cdot x^{4} - \frac{3}{2} x^{2}}{\sqrt{x^{5} - x^{3}},}

aber wo gilt diese Ableitung, ich hätte gesagt auf dem ganzen Definitionsbereich, also

[- 1,0]

oder

[

1,inf)???

Was mit dem einseitig differenzierbar an den Stellen gemeint ist verstehe ich nicht so recht.

Hat jemand eine Idee? Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

15:54 Uhr, 07.03.2020

.
".. wo gilt diese Ableitung, ich hätte gesagt auf dem ganzen Definitionsbereich

D

.."

\to

fast .. :-)

\to

sie gilt nicht an den Randstellen von

D

" Was mit dem einseitig differenzierbar an den Stellen gemeint ist .."

\to

nachschauen, wie sich

f

an diese Randstellen "heranschleicht"

also:
nicht "einseitig differenzierbar"

\to

f' :

von rechts gegen

- 1

und von rechts gegen

+ 1

wird kein einseitiger Grenzwert existieren

(f' \to + \infty)

(dh der Graph von

f

hätte in diesen Stellen zur x-Achse senkrechte Tangenten)

"einseitig differenzierbar"

\to

finde nun selbst noch heraus wie sich

f

von links gegen 0 verhält ..

ok?
.

Jantscher aktiv_icon

18:53 Uhr, 07.03.2020

Hallo,

1)ist der Grund warum die Funktion

f

an Stelle

x = \pm 1

und

x = 0

nicht diffbar ist, weil der Nenner der ersten Ableitung an diesen Stellen null wird?
2)Interessant, bis jetzt hab ich noch nie den Definitionsbereich der ersten Ableitung untersuchen müssen, ist dieses Beispiel so eine Art Spezialbeispiel bei welchem das Überprüfen der Nennernullstellen der ersten Ableitung nötig ist?

3)

Stelle

x = 0

lim_{x \to 0^{-}}

(f´(x))

= lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{5}{2} \cdot x^{4} - \frac{3}{2} x^{2}}{\sqrt{x^{5} - x^{3}}} = \frac{0}{0} \to

L´Hospital

lim_{x \to 0^{-}} \frac{(10 x^{3} - 3 x) \cdot (\sqrt{x^{3}} \cdot \sqrt{x^{2} - 1})}{2,5 x^{4} - 1,5 x^{2}} \to

Grad des Exponenten im Zahler

>

Nenner

\to

0/irgendwas

= 0

lim_{x \to 0^{-}}

(f´(x))=

0 \to 0 \neq

inf

\to

somit ist

f

an Stelle

x = 0

einseitig von links differenzierbar.

rundblick aktiv_icon

19:09 Uhr, 07.03.2020

.
"nie den Definitionsbereich der ersten Ableitung untersuchen müssen"
echt?

aber hier genügt doch das Wissen, dass an Randstellen des Def-Bereich der Funktion

f

nach Definition deren Ableitung

f'

dort eben nicht - oder nur einseitig - existiert .

.

Jantscher aktiv_icon

19:25 Uhr, 07.03.2020

Also, sollte ich generell (auch bei anderen Funktionen) überprüfen wo der Nenner meiner Ableitung null wird? Und an diesen Stellen ist dann die Funktion nicht differenzierbar?

ledum aktiv_icon

20:04 Uhr, 07.03.2020

Hallo
da diese fkt rechts von 0 nicht existiert ist doch klar, dass man untersuchen muss ob sie von links differenzierbar ist, das muss nicht unbedingt Nenner 0 sein, aber natürlich auch. also einfach immer an den Rändern des Def.Gebietes die stetigkeit und differenzierbarkeit untersuchen.
Gruß ledum

Jantscher aktiv_icon

11:04 Uhr, 08.03.2020

Oke, also immer an den Rändern des Definitonsbereiches auf Stetigkeit UND Differenzierbarkeit untersuchen.

Ich mach das dann mal für eine Randstelle, nämlich

x = - 1

ordentlich:

f (x) = \sqrt{x^{5} -^{x}^3}

Definitionsbereich:

[

-1,0]U[1,inf)

Stetigkeit:

f

ist für

(- 1,0) U

(1,inf) stetig.

Untersuche Ränder des Definitionsbereiches:

x = - 1 : lim_{x \to - 1^{+}} (\sqrt{{(- 1)}^{5} - {(- 1)}^{3}} = 0

und

f (0) = 0

an Stelle

x = - 1

nicht stetig weil linksseitiger Grenzwert nicht berechnet werden kann.

Differenzierbarkeit:

f

ist für

(- 1,0) U

(1,inf) diffbar.

für Stelle

x = - 1

. Eigtl. folgt aus Unstetigkeit immer nicht differenzierbar.
Die Funktion

f

kann an Stelle

x = - 1

nicht differenzierbar sein, weil die Funktion von links an

- 1

nicht definiert ist. Also kann der linksseitige Differentialquotient unmöglich der rechtsseitige Differentialquotient sein.

Wäre das so richtig? So würde ich nun an allen Randstellen des Definitionsbereiches vorgehen?

rundblick aktiv_icon

12:01 Uhr, 08.03.2020

.
" Untersuche Ränder des Definitionsbereiches: .."

\to

da taucht bei dir im Grenzwert

lim_{x \to - 1^{+}} (

.?!. ) ja gar kein

x

auf !?

:-)

Jantscher aktiv_icon

12:59 Uhr, 08.03.2020

Ja ich mach das ganze ja sowieso viel zu umständlich. Nach langer Recherche komme ich zur folgenden Lösung.

f (x) = \sqrt{x^{5} - x^{3}}

Definitionsbereich

[- 1,0] U

[

1,inf)

Stetigkeit:

f

ist für die Intervalle

(- 1,0) U

(1,inf) stetig.
Die Funktion

f

ist allerdings an den Stellen

x = - 1, x = 0

und

x = 1

nicht stetig!

Differenzierbarkeit:

f

ist für die Intervalle

(- 1,0) U

(1,inf) differenzierbar. Die erste Ableitung für diese Intervalle ist f´(x)=

\frac{2,5 x^{4} - 1,5 x^{2}}{\sqrt{x^{5} - x^{3}}}

Für die Stellen

x = - 1, x = 0

und

x = 1

ist die Funktion

f

nicht differenzierbar.

"Begründung": Bei der Wurzelfunktion ist das einfach so, dass dort wo die Wurzelfunktion beginnt bzw. endet keine Stetigkeit und keine Differenzierbarkeit vorliegt. Ist auch bei jeder anderen Wurzelfunktion so.
Richtig?

ledum aktiv_icon

16:32 Uhr, 08.03.2020

Hallo,
bei 0 ist

f

differenzierbar da nur links von 0 definiert natürlich auch nur von links.
Gruß ledum

Jantscher aktiv_icon

16:56 Uhr, 08.03.2020

Hmm: Im Internet bin ich auf folgende Erklärung gestoßen: "Wurzelfunktionen beginnen meist in einem bestimmten Punkt. Diesen Punkt berechnet man, indem man den Term unter der Wurzel Null setzt. Und genau an diesem Punkt ist die Funktion nicht stetig und nicht differenzierbar."
Wie passt das zusammen mit, Funktion ist an Stelle

x = 0

differenzierbar?

rundblick aktiv_icon

18:56 Uhr, 08.03.2020

.
"Und genau an diesem Punkt ist die Funktion nicht stetig und nicht differenzierbar."

das ist richtig -
ALSO: deine Beispielfunktion ist an den Stellen

- 1, 0

und

+ 1

NICHT differenzierbar!!

ABER: an der Stelle

x = 0

ist dein

f

immerhin einseitig (für

x \to 0^{-})

diffbar ..
dh im Beispiel , dass man die x-Achse im Kurvenpunkt

(0 / 0)

als sowas wie eine (linksseitige) Tangente sehen kann. :-)

beachte: Nicht umsonst war in der Aufgabenstellung eben genau diese Frage so gestellt:
"Ist

f

an Stelle

x = 1

oder

x = - 1

oder

x = 0

EINSEITIG differenzierbar?"
(dh: also eben dort

\to

NICHT diffbar.)

ok?

Jantscher aktiv_icon

08:58 Uhr, 09.03.2020

Achso oke danke, und die einseitige Differenzierbarkeit ist eben gegeben, wenn ich mit den limes gegen die Ränder des Definitionsbereiches gehe und dann ein Wert und nicht unendlich herauskommt?

ledum aktiv_icon

16:49 Uhr, 09.03.2020

Ja, besser gesagt wenn der linksseitige GW existiert.
ledum

Jantscher aktiv_icon

09:16 Uhr, 11.03.2020

Danke!

Jantscher aktiv_icon

09:18 Uhr, 11.03.2020

Danke!

Jantscher aktiv_icon

20:16 Uhr, 13.03.2020

Hallo, ich habe mich nochmal mit der Funktion beschäftigt und habe einen Fehler bei Wolframalpha entdeckt (glaube ich).

f (x) = \sqrt{x^{5} - x^{3}}

Stetigkeit:

f

ist nur im Intervall

(- 1,0)

oder (1,inf) stetig und nicht stetig in den Punkten

x = - 1, x = 1

und

x = 0

also an den Randstellen des Definitionsbereiches.

Wolfram Alpha sagt aber

f (x)

ist stetig auf dem gesamten Definitionsbereich, das ist ja nicht richtig...

www.wolframalpha.com/input/?i=Is+f%28x%29%3Dsqrt%28x%5E5-x%5E3%29+continuous+%3F

Interpretiere ich etwas falsch oder arbeitet WolframAlpha hier falsch?

pwmeyer aktiv_icon

21:24 Uhr, 13.03.2020

Hallo,

dann erkläre doch mal, wieso

f

bei

x_{0} = 1

nicht stetig ist.

Gruß pwm

Jantscher aktiv_icon

22:24 Uhr, 13.03.2020

weil es keinen Grenzwert von links gibt, da die Funktion links von

x = 1

nicht definiert ist.

Weiter oben wurde schon mit einigen Helfenden das Problem der Stetigkeit erörtert. Stimmt das nicht?

Meine Annahme: " Eine Wurzelfunktion ist dort wo der Ausdruck unter der Wurzel null ist, weder stetig noch diffbar".

rundblick aktiv_icon

22:32 Uhr, 13.03.2020

na ja - habe zum Stetigkeitsbegriff mal nachgeschaut bei

\to

de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion:

... ... . .

.
"Definition mittels Grenzwerten:

\to

Im ersten Fall formuliert man:

f

heißt stetig in

x 0,

wenn der Grenzwert

lim_{x \to x 0} f (x)

existiert und mit dem
Funktionswert

f (x 0)

übereinstimmt, wenn also gilt:

lim_{x \to x 0} f (x) = f (x 0)

\to

Im zweiten Fall formuliert man:

f

heißt stetig in

x 0,

wenn für jede gegen

x 0

konvergente Folge

(a_{n})

mit Elementen

a_{n}

∈

D_{f}

die Folge gegen

f (x 0)

konvergiert. "

... ... . .

.

also:

\to

Im ersten Fall wird die Existenz des Grenzwertes

lim_{x \to x 0} f (x)

verlangt
bei deinem Beispiel existiert aber zB an der Stelle

x 0 = 1

NUR ein rechtsseitiger Grenzwert ..

\Rightarrow f

ist nicht stetig an der Stelle

x 0 = 1 . .

. :-)

\to

Im zweiten Fall müssen die Elemente von

a_{n}

alle NUR im Definitionsbereich von

f

liegen
bei deinem Beispiel ist ja nun

D_{f =} [1; \infty)

\Rightarrow f

ist stetig an der Stelle

x 0 = 1 . .

. :-)

hm? - was meinst du nun dazu ?
und gewiss wird pwmeyer dir Klarheit verschaffen ..

:-)

Jantscher aktiv_icon

10:31 Uhr, 14.03.2020

Das Problem hat man ja "nur" bei Wurzelfunktionen. Weil das Argument eben

\geq 0

sein muss....
Bei zb.

ln

mit Argument

> 0

kann das Problem ja gar nicht auftreten...

Wie soll ich das jetzt handhaben bei Wurzelfunktionen? Bin mir jetzt unsicher und will das aber richtig machen. Stetig und Diffbar an den Randstellen des Definitionsbereiches oder nicht bei Wurzelfunktionen?

pwmeyer aktiv_icon

12:19 Uhr, 14.03.2020

Hallo,

die Definition des Funktionsgrenzwerts und damit auch der Stetigkeit in einem Punkt bezieht sich nur auf eine Annäherung innerhalb des Definitionsbereichs - wie auch immer der beschaffen ist. Wenn dies an einem Randpunkt des Definitionsbereichs untersucht wird, dann ist der Funktionsgrenzwert eben "nur ein einseitiger".

Also

\sqrt{x}

ist bei

x_{0} = 0

stetig.

Anders ist das bei der Definition der Ableitung

-

in der Grundversion, die zunächst nur für innere Punkte definiert ist: Natürlich steht es frei, einseitige Differenzierbarkeit zu definieren.

Gruß pwm

Jantscher aktiv_icon

13:54 Uhr, 14.03.2020

Danke, dann ist folgende Aussage FALSCH:

"Wurzelfunktionen beginnen meist in einem bestimmten Punkt. Diesen Punkt berechnet man indem man den Term unter der Wurzel null setzt. Und genau an diesem Punkt ist die Funktion nicht stetig und nicht differenzierbar.

RICHTIG wäre:

"Wurzelfunktionen beginnen meist in einem bestimmten Punkt. Diesen Punkt berechnet man indem man den Term unter der Wurzel null setzt. Und genau an diesem Punkt ist die Funktion STETIG aber nicht differenzierbar.

Sorry, fürs Wiederholte nachfragen, will nur nicht das mir wegen sowas Punkte in der Klausur flöten gehen...

pwmeyer aktiv_icon

18:06 Uhr, 14.03.2020

Hallo

Du hast Recht.

Gruß pwm

Jantscher aktiv_icon

18:37 Uhr, 15.03.2020

Danke!!

Weißt du eine Computermöglichkeit die Differenzierbarkeit von der Funktion

f

zu überprüfen? Wolframalpha kann das ja nicht.

pwmeyer aktiv_icon

21:05 Uhr, 15.03.2020

Hallo,

weil ich ein alter Mann bin ;-) sage ich: Für so etwas braucht man keinen Computer.

Gruß pwm

ermanus aktiv_icon

22:15 Uhr, 15.03.2020

Hallo,

schließe mich pwm in Bezug auf das Nichtbrauchen eines Computers an ;-)
Dennoch kann wolfram alpha immerhin plotten:

www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sqrt%28x%5E5-x%5E3%29%2Cx%3D-1.5%2C1.5

Und wegen des Verlaufs des Graphen kannst du stark vermuten, dass bei

- 1

und

1

eine senkrechte Tangente (also Nichtdifferenzierbarkeit) vorliegt.
Der stetige Verlauf innerhalb des Definitionsbereichs ist anschaulich
auch gut zu erkennen.
Das ist ja schon eine große Hilfe, erspart einem aber nicht die zugehörigen
Beweise.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

17:07 Uhr, 16.03.2020

Der Verlauf des Graphen und seiner Tangenten wird noch deutlicher,
wenn man nicht die Funktion selbst, sondern die ebene Kurve

y^{2} = x^{5} - x^{3}

betrachtet. Hier sieht man die Tangentensteigungen
sehr "überzeugend".

Gruß ermanus

Wenn nun alles klar ist, bitte abhaken !

Jantscher aktiv_icon

16:48 Uhr, 17.03.2020

Habt Dank!

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