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Differenzierbarkeit am rand mit f(x)=0
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation
 
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Hallo liebes Matheforum, ich muss eine Aufgabe bearbeiten die für 0,UNENDLICH[ definiert ist. für hab ich irgendeine Funktion (sollte nicht wichtig sein, wie sie genau ausschaut) und für ist der Funktionswert 0 definiert. Mit dem Differenzialquotienten hab ich nun herausgefunden, wenn ich mich von rechts annähre dieser gegen 1 läuft. Somit wollte ich darauf schließen, dass die Funktion an der Stelle 0 nicht diffbar ist, weil ich mir nun gedacht habe, dass sie am Punkt ist. Aber wenn ich mir den Differentialquotienten anschaue habe ich dann . Wie sollte ich weiter vorgehen? Ist die Funktion für dann doch diffbar? Bzw. wenn ich allgemein konstante Funktionen betrachte kann doch beim Differentialquotienten an bestimmten Stellen rauskommen, obwohl ich es für natürlich angenommen habe, dass konstante Funtkionen immer die Steigung 0 habe. Vielen Dank für eure Antworten freezeling Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Um Verständnis, Einblick und fundierte Unterstützung zu ermöglichen, wäre es schon gut, wenn du nicht nur das in Stichworte fasst, was du für wichtig hältst, sondern schon auch die Grundzüge der Aufgabe, Funktion und Fragestellung selbst. Dann lässt sich aus deinen Andeutungen lesen: Du sprichst linksseitig von Funktionswert - und rechtsseitig von Differenzalquotient. Sind wir uns einig?? Für Differenzierbarkeit sollten wir linksseitigen Funktionswert mit rechtsseitigem Funktionswert vergleichen, ggf. linksseitige Steigung mit rechtsseitiger Steigung vergleichen. (dafür wiederum sollte der linksseitige Funktionsverlauf nicht ganz so unwichtig sein, wie du behauptest.) Auch wenn wir ein verstehen und kommentieren sollten, solltest du uns schon ein wenig mehr als 0-Information bieten... |
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Alles klar ich hab mal die Angabe und meinen Ansatz für die Ableitung an der Stelle in den Anhang reingehauen  |
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Sry merk grad, dass ich oben nicht mal wirklich reingeschrieben hab, was ich in der Aufgabe machen soll. :-D) Also die Ableitung an der Stelle berechnen. |
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Eine echte Nuss, die ich jetzt doch auch eine ganze Zeit lang grübeln musste. Aber eben darum halte ich sie für wert, hier mal tiefer zu graben. In deiner Überschrift sprichst du von "Differenzierbarkeit am (R)and". Ich ahne, das ist die eigentlich tiefere Aufgabe, auch wenn du sie zuletzt . abgeschwächt hast. Für Differenzierbarkeit werden wir Stetigkeit und Kontinuität der Ableitung untersuchen müssen. Stetigkeit Wir werden den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion bei untersuchen müssen. Übrigens, den hattest du auch für deine Beweisskizze gebraucht, wenn auch unausgesprochen. Das aber dürfte noch die leichtere Übung sein. Ich hoffe, wir sind uns einig: Begründung: Das ist ein Grenzfall vom Typ " begrenzt-auf 1", also Null. Da dieser Grenzwert gleich dem Funktionswert an der Definitionsstelle ist, ist die Funktion stetig. Ableitung Wir werden untersuchen müssen, ob die Funktion einen rechtsseitigen Grenzwert bei hat. Ableitung: df/dx rechtsseitiger Grenzwert (?): df/dx Begründung wiederum: Wir haben einen Grenzfall vom Typ " begrenzt-auf -1;1]". verbleibend: df/dx Und das springt beliebig eng und dicht zwischen den Grenzen hin und her, . hat keinen Grenzwert. . die Funktion ist nicht ableitbar. Ich habe Ansätze durchgespielt, Reihenentwicklung des Substitution . und bin stets zu undefinierten Ausdrücken gekommen. . meine Zuversicht ist gewachsen, dass die rechtsseitige Ableitung nicht existiert - wissend, dass ich hier doch noch kleine Unsicherheiten habe. Das ist auch genau der Grund, weshalb ich diese Nuss nochmals aufwärme, und auf Reaktionen gespannt bin. :-) Um es gleich vorweg zu nehmen: Wer deine Grenzwert-Skizze als Beweis anerkennt, sollte auch - wenigstens numerisch - eine epsilon-Kriterium-Grenze benennen, ab der die Steigung innerhalb von sagen wir mal liegt. |
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"Für Differenzierbarkeit werden wir > Stetigkeit > und Kontinuität der Ableitung untersuchen müssen." Wie kommst du auf diesen Unsinn? Wenn es um die Differenzierbarkeit in einem konkreten Punkt geht, was hat das mit der Kontinuität der Ableitung zu tun? |
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Hallo, ich betrachte den Differenzenquotienten an der Stelle 0 für : . Es gilt für ; denn für . Also ist in diffbar mit Ableitung 1. Gruß ermanus |
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Die (rechtsseitige) Ableitung im Punkt ist , denn ist beschränkt, damit bei . Das ist alles. |
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Zum Thema Differenzierbarkeit halte ich mich an die Definition. Unter "Kontinuität der Ableitung" meine ich linksseitiger Grenzwert der Ableitung = rechtsseitiger Grenzwert der Ableitung Um es kurz zu machen, den linksseitigen Wert einer Ableitung werden wir in dem in der Aufgabenstellung benannten Punkt alle nicht benennen können. Der kritische Punkt ist sicherlich, ob der rechtsseitige Grenzwert der Ableitung existiert. Und absolut ja, ermanus und Dr. Boogie, ihr habt präziser als freezeling dessen Beweisskizze und Idee nachgezeichnet, die mich ja auch stutzen und rätseln und dieses Nachhaken nahelegen lässt. Nur - ich bin der Überzeugung, die greift nicht. Die beiden Beweiswege sind ja widersprüchlich. Entweder der eine oder der andere muss daher fehlerhaft sein. Geometrisch ist mir das auch klar. Nur formal mathematisch fällt es mir auch schwer, den Daumen in die Wunde zu legen, . präziser heraus zu stellen, wo der Knackpunkt, der Knick in der Beweisführung liegt. Daher meine Bitte und Hoffnung, dass Fachleute wie ihr euch der Sache, gerne gemeinsam mit mir, auch wirklich mal annehmen und nicht nur ähnlich freezeling an der Oberfläche kratzt und den nächstbesten Dreizeiler mit "Das ist alles" zum Glauben gebt und wie die Inquisition uns alle in Dummheit sterben lasst. |
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Warum sollte die Ableitungsfunktion stetig sein? Ableitbarkeit ist definiert als die Existenz des Limes des Differenzenquotienten. ist in differenzierbar aber nicht stetig differenzierbar. |
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Ich sehe schon, ich muss noch weiter ausholen und meinen Gedankengang verständlich machen, um wirklich zu konstruktivem Fortschritt anzuregen. Um auf den Punkt zu kommen: lasst uns die Funktion auf den Kern reduzieren. Ich bin überzeugt, so weit sind wir alle einig: rechtsseitig mit Kurz gesagt: der interessante Teil ist ja sicherlich diese die x-Gerade oder der Faktor ist ja nur um Studenten zu beschäftigen oder Schreibarbeit aufzublähen. Wir suchen den Grenzwert der Ableitung von (ich bin fester Überzeugung, wenn wir uns über einig sind, dann natürlich auch über . Zur eindeutigeren Verständigung, lasst uns dem Beweis-Vorgehen von freezeling, fraglos viel klarer präzisiert durch ermanus und DrBoogie einen Namen geben. Ich schlage vor: "Methode_freezeling" Sie basiert auf dem altbewährten Differenzenquotienten / Differenzialquotienten dg/dx Ich habe mal eine Skizze erstellt, um den Gedankengang zu bestärken . Ich weiß von uns allen ausreichend Fachkompetenz, dass wir ja den Gedankengang/Herleitung dahinter kennen. Dieser Ansatz beschreibt, wenn ihr mir mal erlaubt, das graphisch vor Augen zu halten, die Tangente_1, die ja mit Grenzübergang zur Tangente der Funktionskurve verschmilzt, also deren Steigung oder Ableitung ergibt. Dieser Ansatz ("Methode_freezeling") beschreibt ja tatsächlich auch einen Teil der Funktion, nämlich anschaulich die Grenz-Parabel g_grenz= Indem wir nämlich die Abschätzung tätigten sind wir davon ausgegangen, dass mit schwindendem die Tangente_1 immer mehr an die Funktionskurve angleicht und deren Steigungs-Verhalten beschreibt. Und der Teil ist ja unstrittig. Dass die Parabel die Steigung an der Stelle hat, das wissen wir alle. Anschaulich, graphisch: Die Tangente_1 nähert sich immer mehr der x-Achse, je kleiner wir wählen. ABER: Zu jedem finden wir auch ein eine Funktions-Nullstelle entsprechend unserem Teil-Ausdruck . Und dieses Funktions-Verhalten im Bereich beschreibt die Tangente an den Funktionsgraphen doch lokal besser. In anderen Worten, die Tangente_2 beschreibt das lokale Funktionsverhalten doch genauer, als die Tangente_1. Nochmals andere Worte: Das pauschale Vorgehen "Methode_freezeling" ist gängig 'feasable' geeignet, die Grenz-Parabel zu beschreiben. Und deren werden parabolisch klein, mit schwindendem . ("klein klein = sehr-klein ! ") Aber, so klein wir auch unser wählen, das lokale Oszillations-Verhalten der Originalfunktion mit ist nochmals um Klassen 'schärfer' oder eigenwilliger, als diese Methode es zu beschreiben vermag. Dies harmoniert völlig mit der Untersuchung der Ableitung (wie gestern . beschrieben). Ich übertrage das mal auf die Funktion wie ihr sicher nachvollziehen können werdet: dg/dx Zu jeder Stelle finden wir eine Stelle (ich nenne sie mal) "x_3", an der die Ableitung den Wert 1 (oder annimmt: dg/dx= dg/dx dg/dx dg/dx . So klein wir auch wählen, es gibt stets ein oder dessen Ableitung sich offenbar einer Konstanten nähert. Alle Ableitungen nähern sich einem wild wechselnden hin- und her, im Intervall . Es gibt keinen Grenzwert. Das war der Hintergrund meiner Forderung: Wer deine Grenzwert-Skizze ("Methode_freezeling") als Beweis anerkennt, sollte auch - wenigstens numerisch - eine epsilon-Kriterium-Grenze benennen, ab der die Steigung innerhalb von... . ich übertrage mal auf sagen wir mal liegt. Ich hoffe, ich konnte den Zwischenstand meiner Lernkurve so weit mal verdeutlichen. Ich wäre dankbar, wenn jemand von eurem Kaliber das mal anschauen und WIRKLICH mitdenken, den Knackpunkt heraus-arbeiten oder den Widerspruch in der Beweisführung präzisieren könnte. Aber ihr seht schon, ein wenig mehr als Pauschal-Dreizeiler wird für diese Nuss schon angemessen sein wollen.  |
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Über die Gestalt von besteht ja wohl Einigkeit. Wie du nun selbst herausgefunden hast, existiert nicht, d.h. ist nicht stetig in den Punkt fortsetzbar. Wenn also die Ableitung in existiert, wird die Ableitungsfunktion an der Stelle nicht stetig sein, d.h. es wird nicht sein. Nebenbei: "Unsere" Definition der Differenzierbarkeit ist nicht bezweifelbare Norm (siehe z.B. Bourbaki). Ich verstehe daher nicht, was dich daran hindert, es zu verstehen. |
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"Über die Gestalt von . besteht ja wohl Einigkeit." Ich wünsche mir nichts mehr, als Einigkeit. Leider bin ich mit diesen kryptischen Zeichen überfordert. Ich bin kein Hochgrad-Mathematiker. Aber ich bin zuversichtlich, wenn du das ein wenig verständlich in Worte fasst, dann kann ich damit bestimmt was anfangen. "Wie du nun selbst herausgefunden hast, existiert nicht..." Schön, dass wir so weit Einigkeit gefunden zu haben scheinen. Das hörte sich bisher nicht so an. "Wenn also die Ableitung in existiert..." Ich verstehe, du meinst den linksseitigen Part der abschnittsweise definierten Funktion. "wird die Ableitungsfunktion . nicht stetig sein," Ja, in meinen Worten, die linksseitige Ableitung ist nicht gleich der rechtsseitigen Ableitung, oder aber in anderen Worten wir haben rechtsseitig keinen existierenden Ableitungswert, folglich kann der auch nicht gleich wie ein wie auch immer gearteter linksseitiger Ableitungswert sein. "Nebenbei: unsere Definition der Differnzierbarkeit ist nicht bezweifelbare Norm." Unbedingt ja. Sehr gut möglich, dass das der Haken ist. Mein Verständnis von Differenzierbarkeit aus längst vergangener Schulzeit ist, wie schon mehrfach auch in diesem Thread beschrieben: Stetigkeit, linksseitiger Funktionswert = rechtsseitiger Funktionswert "Kontinuität der Ableitung", sorry, ich ahne schon, dass ich damit therminologisch wieder Widerspruch oder Unfachmännischkeit provoziere, ich hatte aber schon präzisiert: linksseitiger Ableitungswert = rechtsseitiger Ableitungswert auch meine Quick-Recherche in Wikipedia spiegelt dieses Verständnis. Dort finde ich die Erklärung: Die Funktion lässt sich in der Nähe von durch eine lineare Funktion approximieren. Dabei steht für den Funktionswert, der eben rechts-links - stetig sein muss, für die Steigung, die eben rechts-links - übereinstimmend sein muss, für eine beliebige Krümmung. Bei unserer Funktion ist das Kriterium knickfreie-Steigung nicht erfüllt. Meine (bisherige) Schlussfolgerung daher: Die Funktion ist in nicht differenzierbar. "Ich verstehe daher nicht, was dich daran hindert, es zu verstehen." Wenn du jetzt einfach mal in verständliche Worte fasst, wo wir auseinander driften, dann hätte ich eine Chance, unser Verständnis abzugleichen... |
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"Ich wünsche mir nichts mehr, als Einigkeit. Leider bin ich mit diesen kryptischen Zeichen überfordert. Ich bin kein Hochgrad-Mathematiker." Es ist nicht höflich, aber mich interessiert es schon, daher frage ich. Warum versuchst du es dann, den Studis zu helfen? Denn eine richtige Hilfe ist es leider nicht. Stell dir vor, dein Auto ist kaputt, du findest irgendwo auf dem Lande eine Werkstatt und ein Mechaniker sagt dir "ich bin zwar kein Profi und mit manchen Autodetails überfordert, aber ich würde der Reparatur auf diesem Wege annähern". Was wäre deine Reaktion? Um etwas klarer zu machen: dieses Forum ist kein Diskussionsforum. Menschen, die hier Fragen stellen, brauchen in den allermeisten Fällen möglichst gute und schnelle Hilfe, keine philosophische Vorträge. |
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Lieber DrBoogie, deine Voreingenommenheit zeigst du ja nicht zum ersten Mal. Dass ich vielen Teilnehmern in vielen Threads schon viele gute Hilfe bieten konnte, das ist sicher nicht übertriebene Selbstüberschätzung. Natürlich, keiner ist perfekt. Es ist sicherlich noch jedem - gerade auch hier im Forum - so gegangen, dass aus Frage und Antwort, aus Geben und Nehmen, aus dem einen Lösungsweg und dem anderen Alternativ-Weg jeder noch lernen konnte und profitieren konnte. Ich bin kein Profi-Automechaniker, aber ich konnte schon am eigenen Auto ebenso wie an dem von Bekannten Dinge wieder zum Gehen bringen, die sich nicht jeder in die Hände zu nehmen traut. Und ich habe, denke ich, ausreichend Ahnung oder Einfühlungsvermögen, dass ich einem Automechaniker ggf. kritisch kontern oder das Vertrauen entziehen könnte, wenn der mir ein für ein zu verkaufen sucht, auch wenn der mutmaßlich im Querschnitt deutlich mehr von Autos verstehen dürfte, als ich. Ich bin kein Profi-Mathematiker, aber ich habe doch im Laufe vieler Jahre, Beiträge und Threads immer wieder auf den rechten Pfad führen, treffende Worte finden und Verständnis wecken können. Sicher nicht immer mit Erfolg, sicher auch vereinzelt im Unrecht. Ich suche mir ja auch keine Threads heraus, wo ich keine Ahnung verspüre, sondern wo ich mir zutraue, unterstützend wirken zu können. Das mag sich im Nachhinein hier und da als Fehleinschätzung erweisen, das liegt aber im Grundprinzip des 'nobody-is-perfect'. Oder in anderen Worten: Wer viel arbeitet, macht viele Fehler. Wer nix beiträgt, macht keine Fehler. Von DIR weiß ich, dass du ein kompetenter Mathematiker bist. Von dir erfahre ich aber wiederholt, dass wenn du 'Nachteule' liest, dass du dann voreingenommen den Professor Hochnase raushängst, und so tust, als ob du im dreidimensionalen Raum nicht mehr verstehen wolltest, dass eine Ebene beschreiben könnte. DIR würde ich zutrauen, dass du konstruktiv beitragen könntest. Von DIR erfahre ich aber einmal mehr, dass du philosophische Vorträge über Automechaniker hältst. Du hast ja noch die Chance, echte hilfreiche Antworten auch noch zu geben... |
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"Oder in anderen Worten: Wer viel arbeitet, macht viele Fehler." Da bin ich froh, dass Lufthansa-Ingenieure oder Chirurgen nicht nach diesem Prinzip arbeiten. :-) Nein, viele Fehler macht der, der keine Ahnung hat. So einfach ist das. Aber jedem sein gegönnt, sich selbst zu betrügen. |
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@N8eule: Dass DrBoogie irgendwann der Kragen platzt, wenn jemand so penetrant seine falschen Vorstellungen hier meint verteidigen zu müssen, ist absolut nachvollziehbar. Um 8:50 herum haben DrBoogie und ich den methodischen Ansatz des Anfragers bestätigt und in die eine oder andere saubere Form gebracht. Dabei hättest du ja wohl merken können, dass deine Vorstellung des Differenzierbarkeitsbegriffs falsch ist. Darauf hättest du dich kundig machen können. Ich habe dir zudem gezeigt, worin das Stetitgkeitsproblem der Ableitung liegt. Was daran ist unklar? Es ist keine gute Idee, Studenten über Stunden hinweg mit seinen eigenen Unzulänglichkeiten zu verwirren. Kein Mensch hat dich daran gehindert, ein modernes Analysis-Buch aufzuschlagen und deine "Lernkurve" zu optimiern. |
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Ich hatte eigentlich in bestmögliche Worte gefasst, wo mein Verständnis oder Unsicherheiten liegen. Ich bin überzeugt, dass wir gar nicht so weit auseinander liegen. Es käme halt einfach darauf an, den Knackpunkt gegebenenfalls nochmals treffend in Worte zu fassen. Leider ergießen sich beide Teilnehmer, denen ich das wirklich zutraue, in wortreiche Ausführungen, wie dumm ich angeblich bin. Wenn sich mal einer erbarmte, statt der Mühen auf mir rum zu hacken, wirklich die Dinge in verständliche Züge zu fassen, dann kämen wir ja vielleicht auch konstruktiv voran. Es mag ja sein, dass das schon kryptisch verständigt wurde. Dann käme es halt drauf an, es nochmals in andere Worte zu fassen, auf einem Niveau das der Fragesteller in dem Fall ich - auch verstehen kann. Ein Prinzip, das einem onlinemathe-Forum ja nicht fremd, sondern allgegenwärtig ist. Wie oft muss man da Dinge zwei- dreimal erläutern, bis man den Gedankengang trifft, der seinem Gegenüber auch in die Hirnwindungen passt. Ich bleibe dabei: "Wenn du jetzt einfach mal in verständliche Worte fasst, wo wir auseinander driften, dann hätte ich eine Chance, unser Verständnis abzugleichen..." Ich hatte mir Mühe gegeben, meine Rückfragen verständlich zu machen. Wenn sich jetzt noch einer halb so viel Mühe gäbe, dies glatt zu ziehen, wie in den letzten Hin-und-Hers Mühe gegeben wurde, Nettigkeiten auszutauschen, dann wäre der Sachdienlichkeit sicher noch eine Wende möglich. |
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Vorerst sry, dass ich nicht mehr ins Forum geschaut habe, da ich gedacht habe, keiner interessiert sich mehr für die Aufgabe. Die Lsg ist- wie auch ein Mitglied geschrieben hat . |
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