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Differenzierbarkeit einer Funktion

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Differentiation

Tags: Differentiation

 
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MathAthlet

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15:21 Uhr, 18.06.2019

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Hallo, ich könnte bei einer Aufgabe etwas Hilfe gebrauchen.

Ich will zeigen, dass die Funktion f:RR mit f(x)=|x2-4|5 differenzierbar ist und dann die Ableitung berechnen.
Anschließend will ich noch die Ableitung auf Stetigkeit untersuchen.

Ich bin bis jetzt so weit

Für x aus R\{+2, -2} ist f differenzierbar als Polynom, denn

f(x)=
(x2-4)5 für x24
(4-x2)5 für x2<4

Die Ableitung für x+2,-2 ist

f‘(x) =
5|x2-4|42x
5(4-x2)4(-2x)

Jetzt was ist in x=2

limf(x)-f(2)x-2 für x2-

limf(x)-f(2)x-2 für x2+

Dasselbe dann in x=-2

Muss dabei irgendwo Fehler gemacht haben. Wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

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17:18 Uhr, 18.06.2019

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Hallo,

warum untersuchst Du nicht den Differenzenquotienten auf Konvergenz. Hinweis: x2-4=(x-2)(x+2)

Gruß pwm
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HAL9000

HAL9000

17:48 Uhr, 18.06.2019

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Man kann auch folgende Hilfsaussage beweisen: Im Fall α2 ist die Funktion gα(x)=xα auf ganz differenzierbar, mit Ableitung gα(x)=αxxα-2. (Gilt übrigens auch noch für 1<α<2, wenn man die stetig hebbare Definitionslücke dieses Terms bei x=0 schließt.)

Damit ist gemäß Kettenregel angewandt auf f(x)=g5(x2-4) dann

f(x)=g5(x2-4)(x2-4)=5(x2-4)x2-432x=10x(x2-4)x2-43.

MathAthlet

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18:38 Uhr, 18.06.2019

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Danke, dann probiere ich das so mal.

Stimmt das, was ich oben drüber bis jetzt habe?
Also die Ableitung?
MathAthlet

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10:36 Uhr, 20.06.2019

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Hallo, ich bin jetzt so weit, dass ich gezeigt habe, dass die Funktion differenzierbar ist auf R {+2,-2}
mit der Ableitung

f‘(x) =10x(x2-4)4,x24
-10x(4-x2)4,x2<4

Wie kann ich diese Ableitung jetzt noch auf Stetigkeit untersuchen?

Habe es jetzt mal so versucht:

f‘(4) =104(42-4)4=829440
f‘(4) =-104(4-42)4=-829440

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 4 nicht übereinstimmen, ist die Funktion nicht stetig.
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pwmeyer

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12:00 Uhr, 20.06.2019

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Hallo,

Du hast x=4 gesetzt, meintest aber x=2 und x=-2. Im übrigen zeigt die obige Zusammenfassung von HAL schon, dass f' stetig ist, weil Zusammensetzung von stetigen Funktionen.

Gruß pwm
MathAthlet

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12:23 Uhr, 20.06.2019

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Oh ok. Wenn ich dann die 2 einsetze bekomme ich jeweils 0 raus. Da die beiden Funktionswerte dann übereinstimmen, ist die Ableitung also stetig
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ledum

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11:33 Uhr, 21.06.2019

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Hallo
ja, und dann bitte abhaken
gruß ledum
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