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Differenzierbarkeit f(x) im offenen Intervall
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionen
Grenzwerte
Tags: Differentiation, Funktion
 
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Ich habe eine Frage bezüglich der Differenzierbarkeit einer beliebigen Funktion mit einem offenen Intervall, welche für ∈ bei jedem x-Wert differenzierbar ist. Meine Überlegungen: Die Differenzierbarkeit ist doch gegeben, wenn "von links" "von rechts". Im geschlossenen Intervall existiert kein limes für die Randwerte von ausserhalb des Intervalls kommend, so dass die Differenzierbarkeit nicht gegeben ist. Im offenen Intervall aber gibt es ja für jeden Wert einen Wert sowie . Bedeutet dies, dass eine Funktion mit beidseits offenem Intervall, die für ∈ differenzierbar ist, auch grundsätzlich überall differenzierbar ist? Ich hoffe die Frage ist im richtigen Bereich gestellt. Danke für Eure Hilfe! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, zunächst einmal ist das eine Definitionsfrage. Im ersten Schritt ist die Differenzierbarkeit einer Funktion nur auf offenen Mengen definiert und nicht für halboffene oder abgeschlossene Intervalle. Man kann dann die Differenzierbarkeit auf den Rändern definieren, z.B. für eine Funktion bildet man zunächst für alle und FALLS der Grenzwert existiert (bitte beachte unbedingt, dass es sein kann, dass es keinen Grenzwert gibt!!!), dann setzt man . Wenn du für ein allgemeines zeigen kannst, dass gilt, ohne dass du zusätzliche Einschränkungen für machst, dann zeigst du es gleichzeitig für ALLE , denn du kannst dann ja für jeden Wert aus einsetzen und der Beweis funktioniert immer noch. In diesem Fall zeigst du es nicht für ein KONKRETES . Machst du Einschränkungen (z.B. ), so zeigst du es dann nicht für alle , sondern nur für diejenigen, für die die Einschränkung ebenfalls gilt. Für alle anderen musst du es dann in einem separaten Beweis nachweisen... Beste Grüße Sina |
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Vielen Dank, die Antwort hat mir sehr gut geholfen! |
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