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Differenzierbarkeit f(x)=x^2 *sin(1/x)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

habim aktiv_icon

11:33 Uhr, 10.01.2026

Ich stehe vor folgender Übungsaufgabe:

f

ist für

x < > 0

definiert durch

f (x) = x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x})

und

f (0) = 0

.
Gezeigt werden soll die Differenzierbarkeit dieser Funktion.

f' (x) = 2 \cdot x \cdot sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x})

Warum sollte diese Funktion in 0 differenzierbar sein? Problmatisch. ist doch

- cos (\frac{1}{x})

Zudem soll untersucht werden ob

f'

stetig ist.

Hat jemand einen Tip ?

Vielen Dank
Michael

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

e60lukas

11:37 Uhr, 10.01.2026

Hallo,
überprüfe bitte mal deine Ableitung und nutze auch die Ketten- und Produktregel.
LG EL

habim aktiv_icon

11:58 Uhr, 10.01.2026

Also die Ableitung ist meiner Ansicht nach richtig und habe das auch mal nachrechnen lassen.

calc007

12:18 Uhr, 10.01.2026

Hallo
Deine Ableitung ist streng formal schon richtig.
Aber - das ist ein Sonderfall, der erinnerlich hier im onlinemathe-Forum schon mehrfach diskutiert wurde.
Hilfreich hier für deine Aufgabe wird sein, wenn du noch eine andere 'Denke' Ableitung zu Gemüte führst.

a)

Der Sinus-Anteil in deiner

f (x)

bleibt doch stets in den Grenzen

- 1 \leq sin (\frac{1}{x}) \leq 1

.
Damit:

- x^{2} \leq f (x) = x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x}) \leq x^{2}

Jetzt kannst du dir das anschaulich vor Augen führen, indem du die Parabeln

y = x^{2}

und

y = - x^{2}

in eine Skizze trägst und dir klar machst, dass deine Funktion stets innerhalb dieses "Schlauchs" bleibt.

b)

Diesen Gedanken kannst du auch formal in Szene setzen, indem du anstelle obigem klassischem Ableiten den etablierten Differenzenquoten nutzt:
df/dx

= lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Du wirst feststellen, dass du im Gegensatz zu deiner Ableitungsfunktion hiermit auch an der Stelle

x = 0

einen (nicht überraschenden) Grenzwert finden kannst.
Damit ist die Bearbeitung der Aufgabe dann nicht mehr schwer...

Randolph Esser aktiv_icon

14:29 Uhr, 10.01.2026

Für

x \neq 0

gilt

| \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} | = | x | | sin (\frac{1}{x}) | \leq | x | \to 0 (x \to 0),

also ist

f

im Nullpunkt differenzierbar mit

f' (0) = 0

.

Es gilt also

f' (x) = 2 x sin (\frac{1}{x}) - cos (\frac{1}{x})

für alle

x \in ℝ \ {0}

und

f' (0) = 0

f'

ist nicht stetig im Nullpunkt,

denn

lim_{x \to 0} f' (x)

existiert nicht (insbesondere also

lim_{x \to 0} f' (x) \neq f' (0))

.

Das liegt daran, dass

2 x sin (\frac{1}{x}) \to 0 (x \to 0),

aber

lim_{x \to 0} cos (\frac{1}{x})

nicht existiert

(oszilliert am Numllpunkt "unendlich schnell/oft" zwischen

- 1

und

1)

.

Das als punkterelevante Bearbeitung formal aufzuarbeiten,

überlasse ich Dir...

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