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Differenzierbarkeit reelle Betragsfunktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Stetigkeit

limes21 aktiv_icon

14:47 Uhr, 25.10.2020

Moin,

Ich weiß, dass die reelle Betragsfunktion

f (x) = | x |

an der Stelle

x = 0

nicht differenzierbar ist, da quasi nicht klar ist, welche der ihr "inhärenten" Funktionen in Frage kommt, weil die Ableitungen der Funktionen an der Stelle

x = 0

ungleich sind.

Mir ist aber nicht klar warum das so ist, weil ich einen Denkfehler habe.

Ich denke, wenn gilt:

f (x) = | x |

gliedert sich auf in:

Fall

1 : f 1 (x) = x

für

x \geq 0

Fall

2 : f 2 (x) = - x

für

x < 0

dann existiert

f 2 (0)

doch wegen der Bedingung

x < 0

gar nicht, weil man erst gar nicht 0 einsetzen darf und somit existiert auch keine Ableitung von

f 2 (0),

wohingegen

f 1 (0)

ja extra für

x \geq 0

definiert ist, dort also existiert und auch eine Ableitung an der Stelle hat.
warum kann man also nicht sagen, dass

f^{(1)} (0) = 1

ist?

Kann mir bitte jemand erklären, warum das Quatsch ist.

Danke im Voraus.

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

15:03 Uhr, 25.10.2020

"warum kann man also nicht sagen, dass

f^{(1)} (0) = 1

ist?"

Weil du gerade gezeigt hat, dass

f_{1}^{(1)} (0) = 1

aber nicht dass

f^{(1)} (0) = 1

(eigentlich existiert nur dir rechtsseitige Ableitung von

f_{1}

0

). Wie willst du denn von

f_{1}

plotzlich auf

f

kommen?

Und wozu du überhaupt

f_{1}

und

f_{2}

einführt, ist mir ein Rätsel.
Die Definition der Ableitung ist doch glasklar: es muss der Grenzwert

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

existieren. Und

lim_{x \to 0} \frac{∣ x ∣ - ∣ 0 ∣}{x - 0}

existiert nicht, Punkt.

limes21 aktiv_icon

17:00 Uhr, 25.10.2020

Ok, anders:

Ich führe

f 1

und

f 2

ein, weil der Betrag so definiert ist?? Ist hier vllt. nicht nötig, aber davon stirbt doch keiner?

rechtsseitiger Grenzwert muss mit

f 1 (x)

gebildet werden, da ich

x = 0

untersuche und für alles rechts davon bzw. für alle

x \geq 0

gilt

f 1 (x) = x

Also

lim_{x \to 0} (\frac{f 1 (x) - f 1 (0)}{x - 0}) = lim_{x \to 0} (\frac{x - 0}{x - 0}) = 1

linksseitiger Grenzwert muss mit

f 2 (x)

gebildet werden, weil für alles links von

x = 0

bzw. für alle

x < 0

gilt

f 2 (x) = - x

Also

lim_{x \to 0} (\frac{f 2 (x) - f 2 (0)}{x - 0}) = lim_{x \to 0} (\frac{- x - (- 0)}{x - 0}) = - 1

warum kann ich hier überhaupt

f 2 (0)

machen, wo doch

f 2 (x)

nur für

x < 0

definiert ist?

f 2 (x)

ist ja eben nicht für

x \leq 0

definiert.
Das ist es, was ich nicht verstehe.

Oder schreibt man den linksseitigen in diesem Fall so:

lim_{x \to 0} (\frac{f 2 (x) - f 1 (0)}{x - 0}) = lim_{x \to 0} (\frac{- x - 0}{x - 0}) = - 1

wenn das stimmt, dann erübrigt sich ja die Frage.

DrBoogie aktiv_icon

17:25 Uhr, 25.10.2020

"warum kann ich hier überhaupt f2(0) machen, wo doch f2(x) nur für x<0 definiert ist?"

Du bist doch derjenige, der

f_{2}

definiert. Du kannst

f_{2}

auch für

x = 0

definieren, das wäre sogar sehr logisch aus meiner Sicht. Aber es ist ja deine Entscheidung. Und wenn du

f_{2}

nur für

x < 0

definierst, dann gibt's keine Ableitung in

0

für diese konkrete Funktion. Ich verstehe nur nicht, was das beweisen soll?

"Oder schreibt man den linksseitigen in diesem Fall so:"

Nein, das ist schon kompletter Quatsch. Du kannst jetzt nicht zwei Funktionen vermischen, das entspricht keiner Definition.

limes21 aktiv_icon

17:44 Uhr, 25.10.2020

Zeig mir mal, wie du mit links- und rechtsseitigem Grenzwert zeigst, dass

f (x) = | x |

an der Stelle

x = 0

nicht differenzierbar ist.
Eventuell kommen wir dann weiter.

DrBoogie aktiv_icon

17:51 Uhr, 25.10.2020

Rechtsseitig:

lim_{x \to + 0} \frac{∣ x ∣ - 0}{x - 0} = lim_{x \to + 0} \frac{x}{x} = lim_{x \to + 0} 1 = 1

.
Linksseitig:

lim_{x \to - 0} \frac{∣ x ∣ - 0}{x - 0} = lim_{x \to - 0} \frac{- x}{x} = lim_{x \to - 0} - 1 = - 1

.

Wenn ein Grenzwert existieren würde, würden sie gleich sein. Also, es gibt keinen Grenzwert von

lim_{x \to 0} \frac{∣ x ∣ - 0}{x - 0}

.

Hier gibt's aber kein Problem mit der Definition, denn

∣ x ∣

ist ja im

0

definiert.

Im übrigen, für die Existenz des Grenzwertes

lim_{x \to x_{0}} f (x)

muss

f

nicht unbedingt in

x_{0}

definiert sein. Das nur am Rande, hier ist es irrelevant.

limes21 aktiv_icon

19:16 Uhr, 25.10.2020

Eben, so ist es ja richtig und der einzige Unterschied ist, dass es halt nur nicht mit

f 1

und

f 2

unterschieden wird, was, wie mir schon klar ist, überflüssig ist.

Aber trotz allem gilt dann:

linksseitig:

lim_{x \to 0} (\frac{f 2 (x) - f 1 (0)}{x - 0}) = lim_{x \to 0} (\frac{- x - 0}{x - 0}) = - 1

f 1 (0)

weil

f 1

für

x \geq 0

definiert ist und

f 2 (x)

weil

x < 0

und

f 2

für

x < 0

definiert ist.

gegen welche Definition soll das verstoßen, wenn du es letztendlich genauso gezeigt hast, nur eben auf die überflüssige

f 1

und

f 2

Geschichte verzichtet hast?

Du kannst ja bei deiner linksseitigen Grenzwert Rechnung nur deshalb sagen, dass

| x | = - x,

weil

f

für negative

x

so definiert ist und ob man die Definitionen von

| x |

jetzt

f 1

und

f 2

nennt, oder einfach so hinschreibt, ist letzten Endes ja auch egal. Es ist doch genau dasselbe.

Auf jeden Fall habe ich jetzt meinen ursprünglichen Fehler, um den es mir eigentlich ging, erkannt und habe es jetzt, dank dir, verstanden.
Also schon einmal vielen Dank dafür.

Doerrby aktiv_icon

22:31 Uhr, 25.10.2020

Man kann auch definieren:
f(x)=x für x>0
f(x)=0 für x=0
f(x)=-x für x<0
an der Limes-Bildung ändert das nichts, wenn der Zielwert selbst nicht in der Definition enthalten ist, da man mit dem Limes sozusagen dorthin "extrapoliert".
Differenzierbar heißt, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sind.
Bei x=0 ist das nicht so.

limes21 aktiv_icon

12:07 Uhr, 28.10.2020

Danke.

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