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Differenzierbarkeit von Funktionen,
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 17:16 Uhr, 02.02.2007  |
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Hallo, wäre toll, wenn ihr mir sagen könntet, ob ich das richtig gemacht habe.Falls nicht bitte den Fehler markieren und sagen was falsch ist. Danke jetzt schon. Ich arbeite mit m=(f(x)-f(x0))/(x-x(0)) Aufgabe: Untersuchen der Differenzierbarkeit an der Stelle x0 f(x)=(x-1)*|x-1| x0=1 x>1 ((x-1)*|x-1|-f(1))/(x-1) ->((x-1)*x-1-0)/(x-1) dann komme ich aber nicht weiter. was muss ich da noch machen? Stimmt es bis dahin? x<1 ((x-1)*1-x)/(x-1) wie rechne ich da weiter, wenn es stimmen sollte? Nächste Aufgabe: f(x)= (x)/(|x|+1) x0=0 würd jetzt so anfangen: x>0 ((x)/(x+1+1))/(x-1) dann komme ich auf (x/(x+2))/(x-1) auch da komme ich dann nicht weiter. x<0 bekomme ich leider nicht hin,da ich nicht weiß was ich aus (|x|+1) machen muss. Danke für eure Hilfe. Gruß |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Bei eingebauten Beträgen mit Fallunterscheidungen arbeiten ist als Idee richtig. Und zwar dort, wo das Innere der/ einer Betragsfunktion vom Vorzeichen kippen kann,... na klar, das ist die Nullstelle des ´Inneren´. f(x)=(x-1)*|x-1| und x0=1 Wir unterscheiden (I) x > 1 und (II) x < 1, daher ist: f(x)= (x-1)² im Fall (I) f(x)= -(x-1)(x-1)= -(x-1)² im Fall (II) Und f(x0)=f(1)=0 ist für beide Fälle klar. Wir können jetzt jeweils den DifferenzenQuotienten bilden: (I)... {f(x)-f(x0)}/{x-x0}= {(x-1)² - 0}/{x-1}= x-1 (II)... {f(x)-f(x0)}/{x-x0}= {-(x-1)² -0}/{x-1}= -(x-1) In beiden Fällen dürfen wir den Grenzübergang x-->1 vollziehen und das Ergebnis ist jeweils =0. DIESES ´=´ erlaubt uns f´(1)=0 zu schreiben, d.h. ausführlich: f ist an der Stelle x0=1 differenzierbar mit dem Wert Null. Nächste Aufgabe: Nach diesem Schema selber machen (und ggfs. posten). Manöverkritik an Deiner Vorgehensweise: Fallunterscheidung richtig angesetzt, aber Du musst das x-1 aus dem Nenner irgendwie wegkürzen. Ab da fehlte die Erkenntnis, dass (x-1)/(x-1) = 1 ist... -Steele- |
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anonymous 19:26 Uhr, 02.02.2007 |
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Hallo, ersteinmal vielen Dank! Werd emich gleich an der zweiten Aufgabe veruschen. Falls ich schwierigkeiten habe, melde ich mich nochmal. Danke |
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anonymous 19:51 Uhr, 02.02.2007 |
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Habe mich an der zweiten Aufgabe versucht, aber nur Müll rausbekommen, da ich nicht weiß, wie ich das mit den Betragsstrichen machen soll. Vielleicht kannst du mir ja den ersten Schritt nochmal aufschreiben. Danke |
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Bei der 2-ten Aufgabe f(x)=(x)/(|x|+1) gibt es einen Betragsstrich. Das Innere davon hat eine Nullstelle. Frage: Wie heisst die? - Antwort: _______________ Also unterscheide ich f nach (I) x > _______ und (II) x < _________ Für diese Fälle lautet die Funktion: (I)... f(x)= ________________ (II)... f(x)= ________________ In x0=0 ist f(x0)= f(0) = ____________ Wir können jetzt jeweils den DifferenzenQuotienten bilden: (I)... {f(x)-f(x0)}/{x-x0}= ___________ (II)... {f(x)-f(x0)}/{x-x0}= ____________ Ist x-->x0=0 möglich, wenn ja, mit welchen Werten und vor allem sind die Werte für (I) und (II) gleich??! - Antwort: ______________________ -Steele- (Gibt es Hoffnung??!) |
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anonymous 22:06 Uhr, 02.02.2007 |
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Hallo, erstmal nochmal danke für deine ganze Mühe. Sind mit dem Thema heute erst angefangen. Also ich habe jetzt raus: I x<0 II x>0 habe dann sehr komische Funktionen gebaut, die nicht sein können. Schaffe es zur Zeit nichtmal die Funktionen auf die Reihe zu bekommen. Schlimm genug. Nun zu deinen Fragen, hoffe sie sind ansatzweise richtig: Bei der 2-ten Aufgabe f(x)=(x)/(|x|+1) gibt es einen Betragsstrich. Das Innere davon hat eine Nullstelle. Frage: Wie heisst die? - Antwort: 0, denn ich untersuche ja x0=0 In x0=0 ist f(x0)= f(0) = 1, weil ja noch ein +1 da steht. Danach ist dann alles vorbei. Hoffe, du hilfst mir nochmal. Danke danke. |
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Zitat: Frage: Wie heisst die? - Antwort: 0, denn ich untersuche ja x0=0. NÖ. - Dann untersuche die Funktion bei x0=4711... Ändert sich etwas für die Funktion??! Es bleibt bei der Unterscheidung, wo der Betrag das Vorzeichen wechselt. Die wechselt also für x=0 , egal welche Steigung bei x0 untersucht werden soll. Du brauchst nur in das Schema für den Diff.Quotienten einsetzen. Aber Du musst es selber tun UND die Ergebnisse rechtfertigen können. ´denn ich untersuche ja x0=0´ war eine Begründung, nur leider falsch. -Steele- (auf gehts!!) |
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Nachtrag: Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. Hast Du einen Funktionenplotter? Ich benutze für simple Dinge MatheAss [1]. Betragsfunktion ist dort drin als abs(..). Der Vorschlag deshalb, weil Du keine bildliche Vorstellung von dem hast, was Du tust. Jetzt bleibt die Frage, was die Leute so mit dem Diff.Quotienten (bildlich) bezwecken wollen... {f(x)-f(x0)}/{x-x0} ist die Steigung (Gegenkathete DURCH Ankathete) durch die Punkte x und x0. Denke Dir x0 als festgenagelt und schiebe x näher an x0 heran. Beobachtung: Die Gerade durch f(x) und f(x0) wird immer mehr zur Tangenten (= Berührgeraden). Ausser, dass f bei x0 einen Knick hat (oder auseinanderreisst). Dann gibt es links und rechts von x0 verschiedene Steigungen. - Deshalb: (Standardbeispiel) f(x)=|x|= abs(x) hat einen solchen Knick bei x0=0. Das Teil sieht aus wie ein V (zwei Geraden, die sich in x0=0 schneiden und als solche nur in x0=0 der Betrachtung wert sind). Rechts von x0 habe ich Steigung =+1 (die Funktion ist ihre eigene Gerade), links davon ist es = -1 (dto.). - Bitte stelle den Diff.Quotienten für f(x)=|x| auf (und lasse die ´schwierigen´ Hausaufgaben erstmal weg). - Messerscharfe Folgerung: Eine Funktion hat keine Steigung an den Stellen x0, wo ´Knicke´ vorliegen. Diff.bare Funktionen sind ´rund´ (und gemeint sind immer die Stellen rund an einem ausgesuchten Punkt x0). Überprüfe das, was ich erzähle! - Nimm ein Blatt Papier und male Koordinatensystem und x und x0 UND f(x) und f(x0) und deren jeweilige Differenzen und erkenne ein Steigungsdreieck (nix anderes will der Diff.Quotient, deshalb heisst der auch so...). -Steele- _______________ [1] www.matheass.de/matheass_de/download.htm |
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anonymous 09:07 Uhr, 03.02.2007 |
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Vielen Dank nochmal. Ich habe WinFunktion. Damit werde ich es mal versuchen. Habe immerhin mittlerweile was raus, aber bin mir nicht sicher, ob es stimmt. Habe für beides x-1 rausbekommen und keine Differenzierbarkeit. Gruß |
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anonymous 09:16 Uhr, 03.02.2007 |
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Ich nochmal, nachdem ich es jetzt mal habe zeichnen lassen, wird mir klar, dass mein Ergebnis nicht stimmt und die Funktion differenzierbar sein muss. Immerhin diese Erkenntnis. Gruß |
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