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Differenzierbarkeit von sinh(x) zeigen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Differenzierbarkeit, Funktion

Kaloffi aktiv_icon

11:10 Uhr, 11.08.2018

Hallo, ich soll zeigen, dass

sinh (x)

mit

cosh (x)

differenzierbar ist.

Habe so angefangen:

lim_{h \to \infty} \frac{sinh (x + h) - sinh (x)}{h} = lim_{h \to \infty} \frac{cosh (x) \cdot sinh (x) + sinh (x) \cdot cosh (x) - sinh (x)}{h} =

lim_{h \to \infty}

((exp(x)+exp(-x))*(exp(h)-exp(-h))+(exp(x)-exp(-x))*(exp(h)+exp(-h))-2(exp(x)-exp(-x)))/4h

= lim_{h \to \infty}

((exp(x+h)-exp(-x-h)-(exp(x)-exp(-x))/2h

Habe schon gelesen das mit die Ketten,Summen und Produktregel jetzt weiter helfen aber ich weiß nicht wie.

LG Kaloffi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

11:59 Uhr, 11.08.2018

Ich bin neu hier; das ist alles so unübersichtlich . Ich will keine Frage STELLEN , sondern deine beantworten .
Was immer dein Prof sagt - das ist dochj alles Sinn los . Wie ist die Sinusfunktzion definiert? Die reelle Analysis kann sich unmöglich mit Dreiecken befassen.
Der moderne Ansatz: Sinus ist definiert als Lösung der DGL der harmonischen Schwingung ( mit geeigneten Anfangsbedingungen )

y

+ y = 0 (1)

Wie fruchtbar dieser Ansatz ist; du weißt, dass zwei Anfangswerte das Integral von

(1)

bereits eindeutig fest legen . Aus

(1)

folgen die Additionsteoreme ELEMENTAR .
Aus

(1)

folgt ferner trivial, dass Sinus zwei Mal differenzierbar sein muss . An sich müssten wir uns jetzt über die analytische Fortsetzung aus der komplexen Funktionenteorie unterhalten .
Sinh ist definiert

sin (i z) = : i sin (z) (2)

anonymous

11:59 Uhr, 11.08.2018

y

+ y = 0 (1)

Wie fruchtbar dieser Ansatz ist; du weißt, dass zwei Anfangswerte das Integral von

(1)

bereits eindeutig fest legen . Aus

(1)

folgen die Additionsteoreme ELEMENTAR .
Aus

(1)

sin (i z) = : i sin (z) (2)

Kaloffi aktiv_icon

12:27 Uhr, 11.08.2018

Danke für deine Mühe, aber das hilft mir bei dem Beweis nicht weiter.

abakus

12:32 Uhr, 11.08.2018

gelöscht

anonymous

12:39 Uhr, 11.08.2018

Hallo

1 .)

Ich zweifle ein wenig die Wortwahl deiner Aufgabenstellung an.
Wie lautet die Original-Aufgabenstellung?
Ich ahne, du sollst die Ableitung der Funktion

f (x) = sinh (x)

herleiten.

2 .)

Ich ahne, du willst dazu den Differenzialquotienten nutzen.
Schon

lim_{h \to \infty}

ist falsch.
Überleg mal besser...

3 .)

Dann wolltest du vermutlich die hyperbolische Summenregel anwenden, bist aber irgendwie verhuddelt.
Vermutlich wolltest du:

... = lim \frac{cosh (x) \cdot sinh (h) + sinh (x) \cdot cosh (h) - sinh (x)}{h}

4 .)

Wenn du diesen Weg weiter verfolgen willst, dann vielleicht über den folgenden Tipp:

... = cosh (x) \cdot lim [\frac{sinh (h)}{h}] + sinh (x) \cdot lim [\frac{cosh (h) - 1}{h}]

Eventuell kennst du die beiden verbleibenden Grenzwerte??
Oder ahnst du - kannst du herleiten, wohin die beiden verbleibenden Grenzwerte führen?

5 .)

Ein anderer Lösungsweg wäre über den zweiten angerissenen Ausdruck

= lim \frac{e^{x + h} - e^{- x - h} - e^{x} + e^{- x}}{2 \cdot h}

und die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion.

Viel Erfolg!

ermanus aktiv_icon

12:49 Uhr, 11.08.2018

Hallo,

ich würde in deinem Differenzenquotienten als Erstes den

\sinh

e

-Ausdrücke umschreiben:

\frac{1}{2} (\frac{e^{x + h} - e^{- (x + h)} - e^{x} + e^{- x}}{h})

.
Dann nutzt du

e^{x + h} = e^{x} e^{h}, e^{- (x + h)} = e^{- x} e^{- h}

,
formst fleißig um und erhältst

\frac{1}{2} (e^{x} \frac{e^{h} - 1}{h} + e^{- x} \frac{1 - e^{- h}}{h})

.
Mit L'Hospital bekommst du die Limiten der beiden

h

-Ausdrücke.

Gruß ermanus

Kaloffi aktiv_icon

12:53 Uhr, 11.08.2018

Werde mal versuchen das umzusetzten, melde mich später wieder, danke.

Kaloffi aktiv_icon

18:49 Uhr, 11.08.2018

Bin jetzt an dieser Stelle:

\frac{1}{2} \cdot (e^{x} \cdot \frac{e^{h} - 1}{h} + e^{- x} \cdot \frac{1 - e^{- h}}{h})

Das sieht ja schonmal ganz schön aus, ich will ja da hin kommen:

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Wenn ich das

h

gegen 0 laufen lassen würde wären die Brüche ja 0 aber da wird halt multipliziert dummerweise und ich will ja nicht das auch der Rest 0 wird... mit Hospital sehe ich nicht das ich da ans Ziel komme:

ermanus aktiv_icon

18:56 Uhr, 11.08.2018

Also nehmen wir doch mal

\frac{e^{h} - 1}{h}

. Wenn man im Zähler und Nenner

h = 0

setzt, kommt "

\frac{0}{0}

" heraus, nicht "

0

". Das schreit geradezu nach L'Hospital:

lim_{h \to 0} \frac{(e^{h} - 1) ʹ}{h ʹ}

, wobei mit

ʹ

die Ableitung nach

h

gemeint ist.

Kaloffi aktiv_icon

19:07 Uhr, 11.08.2018

Hab leider nie was mit Hospital gemacht und verstehe den Satz nicht so ganz.

Wenn ich jetzt

\frac{e^{h} - 1}{h}

ableite habe ich

\frac{e^{h}}{1}

und mit

h \to 0

kommt da 1 raus.

Das ist ja schonmal gut aber geht das so einfach?

Roman-22

19:09 Uhr, 11.08.2018

Die Anwendung von de l'Hôspital setzt die Kenntnis der Ableitung von

e^{x}

voraus.
Außerdem wurde hier bereits die Definition der Hyperbelfunktionen mittels der Exponentialfunktion verwendet.
Wenn das alles erlaubt ist, was spricht dann dagegen, gleich zu Beginn

sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

zu setzen, das abzuleiten und im Ergebnis

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

den

cosh x

zu erkennen?

ermanus aktiv_icon

19:10 Uhr, 11.08.2018

Ja. Genauso funktioniert l'Hospital :-)

Kaloffi aktiv_icon

19:11 Uhr, 11.08.2018

Wie schreibe ich das formal richtig auf?

ermanus aktiv_icon

19:13 Uhr, 11.08.2018

@Roman-22: Da hast du natürlich Recht :-) Aber wer weiß,
was der Original-Aufgabensteller für didaktische Ziele hatte?
LG ermanus

ermanus aktiv_icon

19:15 Uhr, 11.08.2018

lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{e^{h}}{1} = e^{0} = 1

Roman-22

19:25 Uhr, 11.08.2018

@ermanus

>

Da hast du natürlich Recht :-) Aber wer weiß,

>

was der Original-Aufgabensteller für didaktische Ziele hatte?

Wir wissen ja leider von der genauen Aufgabenstellung nichts, kennen nur das etwas eigenartig kryptische "Hallo, ich soll zeigen, dass $sinh (x)$ mit $cosh (x)$ differenzierbar ist." und wissen auch nicht, warum Kaloffi den Weg über den Grenzwert des Differenzenquotienten als Ansatz gewählt hat.
Vielleicht klärt er uns diesbezüglich noch auf und verrät die Aufgabenstellung im kompletten Originalwortlaut.

ermanus aktiv_icon

19:27 Uhr, 11.08.2018

Das wäre natürlich toll, schon alleine zu dem Zweck, dass wir heute
keine schlaflose Nacht durchleiden müssen ...

Kaloffi aktiv_icon

19:36 Uhr, 11.08.2018

Die Aufgabe lautet im original:

Zeigen Sie:

Die Funktionen

sinh

und

cosh

sind differenzierbar mit:

sinh´(x)=cosh bzw. cosh´(x)=sinh

ermanus aktiv_icon

19:39 Uhr, 11.08.2018

Ah, dann hätte Roman-22s Methode voll ausgereicht.
Aber mal l'Hospital üben, schadet sicher nicht ;-)

Kaloffi aktiv_icon

19:42 Uhr, 11.08.2018

Hab mir mal die Lösung angeschaut dort steht nur:

Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion sowie Faktor-, Summen- und Kettenregel verwenden.

ermanus aktiv_icon

19:44 Uhr, 11.08.2018

Aha. Dann bitte nur Roman-22 folgen ;-)

Kaloffi aktiv_icon

19:47 Uhr, 11.08.2018

Ich lass das jetzt so, in der Aufgabenstellung war ja nicht weiter angegeben also kann mans ja lösen wie man will. Danke für die Hilfe

anonymous

01:00 Uhr, 12.08.2018

Dann musst du aber glauben, dass die e-Funktion differenzierbar ist

. .

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