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Differenzierbarkeit widerlegen oder beweisen

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Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Stetigkeit

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14:43 Uhr, 13.09.2017

Guten Tag,
ich beschäftige mich zurzeit mit folgender Aufgabe:

Meine Idee:
Wir haben die Funktion

F (x, y) = x^{2} + y^{2}

Diese Funktion ist mit

F (x, x) = x^{2} + x^{2} = 2 x^{2}

uns somit

lim_{x \to 0} f (x, x) = 0

stetig in

(0, 0)

Ebenso existieren die part. Ableitungen in

(0, 0)

lim_{h \to 0} \frac{f (h, 0) - f (0, 0)}{h}

lim_{h \to 0} \frac{h^{2}}{h}

0

Und

lim_{h \to 0} \frac{f (0, h) - f (0, 0)}{h}

lim_{h \to 0} \frac{h^{2}}{h}

0

Da die Funktion also stetig in

(0, 0)

ist, und die partiellen Ableitungen in

(0, 0)

existieren, ist sie ebenso differenzierbar in

(0, 0)

.

Ich bin mir hier jedoch nicht so ganz sicher. Vielleicht sollte ich das doch über die Definition der Differenzierbarkeit machen?

Wäre sehr hilfreich wenn jemand helfen könnte!

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

15:13 Uhr, 13.09.2017

"Da die Funktion also stetig in (0,0) ist, und die partiellen Ableitungen in (0,0) existieren, ist sie ebenso differenzierbar in"

Nein, das ist falsche Begründung, Existenz partieller Ableitungen ist keine Garantie für Diff-barkeit, auch Stetigkeit hilft hier nicht.

Übrigens, die Stetigkeit beweist Du auch unkorrekt.

Du musst direkt mit der gegebenen Ungleichung und mit der Definition der Differenzierbarkeit arbeiten.

PhysX aktiv_icon

15:33 Uhr, 13.09.2017

Ah ok, schade.
Hätte ich bei der Stetigkeit wieder die Grenzkurve y=2x betrachten sollen?

Mit der Definition der Differenzierbarkeit erhalte ich doch

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:36 Uhr, 13.09.2017

"Hätte ich bei der Stetigkeit wieder die Grenzkurve y=2x betrachten sollen?"

Nein, Du darfst nicht auf Sonderfälle reduzieren, sondern musst schon alle

(x, y)

betrachten.

"Mit der Definition der Differenzierbarkeit erhalte ich doch"

Was bei Dir steht, ist schon richtig. Was folgt dann daraus für die Differenzierbarkeit?

PhysX aktiv_icon

15:44 Uhr, 13.09.2017

Ah ok.
Wenn ich mich jetzt nicht vertue, folgt daraus für die Differenzierbarkeit, dass f differenzierbar ist in (0,0)

DrBoogie aktiv_icon

15:47 Uhr, 13.09.2017

Nach Stetigkeit ist in der Aufgabe übrigens nicht gefragt. Aber sie folgt aus Diff-barkeit.

Du musst noch sagen, dass