Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Differenzieren geometrischer Reihen

Differenzieren geometrischer Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Differenzieren, Folgen und Reihen, Geometrische Reihe

Lili1 aktiv_icon

15:29 Uhr, 10.05.2013

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen. Weiß irgendwie nicht wirklich, was da machen soll:

Finden Sie durch Differenzieren der geometrischen Reihe explizite Formeln für die Reihengrenzwerte

$\sum_{k = 1}^{\inf .} k x^{k},$ $\sum_{k = 1}^{\inf .} k² x^{k}$ , für alle $x \in (- 1, 1)$

Viele Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

16:11 Uhr, 10.05.2013

Hallo,

weißt du, dass für geeignete

x \in ℝ

die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}

konvergiert?
Für diese

x

könnte man also eine Funktion - hmm..., nehmen wir mal -

f

definieren, also

f : x \mapsto \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}

.
Man kann für die angesprochenen

x

den Funktionswert auch anders ausrechnen (ist sehr einfach, findest bestimmt selbst).
Dann kann du

f

ableiten, einmal den noch zu findenen Term, dann - man sagt - "formal" die Reihe ableiten. Beide Ergebnisse sollten gleich sein (sind sie unter gewissen Voraussetzungen). Daraus und durch ein bisschen Indexgetrickse findest du dann den "Wert" der ersten Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k}

.

Für die zweite muss man halt noch einmal ableiten, aber das wirst schon selbst erkannt haben, wenn du meinen "footsteps" bis hierhin gefolgt bist.

Mfg Michael

Lili1 aktiv_icon

18:14 Uhr, 10.05.2013

Hallo Michael!

Danke für deine Antwort, bin mir aber noch immer nicht ganz sicher was ich da machen soll. Also ich weiß, dass die Reihe $\sum_{k = 0}^{\inf .} x^{k}$ konvergiert, da x ja im Intervall (-1,1) liegt und f(x) := x^n eine Nullfolge ist.

Ich weiß auch, dass die n-te Partialsummer $s_{n} = a_{1} * \frac{1 - x^{n}}{1 - x}$ ist und sofern ich richtig abgeleitet habe sollte dann für für sn := g(x) für g´(x)= $\frac{- n x^{n - 1} + x^{n} - 1}{(1 - x) ²}$ rauskommen. Ich weiß aber nicht, was mir das Differenzieren bringen sollte. Kannst du mir das bitte erklären?

Achja und wenn ich mir jetzt nur $\sum_{k = 0}^{I n f .} k$ anschau, ist die ja uneigentlich konvergent gegen unendlich, oder?

Danke

Lg Lili

Werner-Salomon aktiv_icon

23:36 Uhr, 10.05.2013

Hallo Lili,

was Michael Dir sagen wollte ist, dass Du beide Seiten ableiten sollst und dann durch Umstellen einen Ausdruck erhältst in dem Du eine der beiden Summenausdrücke isolieren kannst.
Also Du weißt, dass

\sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = \frac{x}{1 - x}

ist.
Der Unterschied zu Deiner Formel ergibt sich daraus, dass hier

k

bei 1 und bei Dir

k

bei 0 beginnt.

Jetzt leite beide(!) Seiten nach x ab.

\sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot x^{k - 1} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}

jetzt noch

\frac{1}{x}

ausklammern, damit man links den ersten gegebenen Summenausdruck erhält

\frac{1}{x} \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot x^{k} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}

bzw.:

\sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot x^{k} = \frac{x}{(1 - x)^{2}}

viola und schon steht dort eine explizite Formel für den Wert der ersten unendlichen Reihe.

Leite diesen Ausdruck noch einmal ab und versuche den zweite Ausdruck zu isolieren.

Gruß
Werner

Lili1 aktiv_icon

14:31 Uhr, 11.05.2013

Vielen lieben Dank!

Das hat mir sehr geholfen! Beim zweiten mal Ableiten kommt sollte dann als Formel $\sum_{k = 1}^{I n f .} k² x^{k} = - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) 3}$ rauskommen, oder?

Werner-Salomon aktiv_icon

16:06 Uhr, 11.05.2013

Hallo Lili,

schau selber mal auf Dein Ergebnis und überlege, ob das stimmen kann.
Ohne irgendetwas nach zu rechnen -> nein, kann nicht sein, da das Ergebnis für jedes

x \in (0, 1)

rechts einen negativen Wert annimmt, während links nur positive Summanden stehen.

Ableiten:

\sum_{k = 1}^{\infty} k^{2} \cdot x^{k - 1} = \frac{(1 - x)^{2} + 2 x (1 - x)}{(1 - x)^{3}}

Den rechte Bruch mit

1 - x

kürzen und die Gleichung mit

x

multiplizieren

\sum_{k = 1}^{\infty} k^{2} \cdot x^{k} = \frac{x (1 + x)}{(1 - x)^{2}}

Tipp: wenn Du Dir nicht sicher bist, so setze bei dieser oder einer ähnlichen Aufgaben ruhig mal konkrete Zahlenwerte ein und bestimme die Summe für die ersten Werte von

k

- dann siehst Du schon, wo die Reise hin geht.

es freut mich, dass ich Dir helfen konnte
Gruß
Werner

Lili1 aktiv_icon

19:12 Uhr, 11.05.2013

Danke Werner!

Ja, das Minus war zu viel. Aber unter dem Bruch steht dann doch (x-1)^3 statt (x-1)^2.

Vielen Dank nochmal! Ist eigentlich nicht so schwer gewesen, aber manchmal hab ich einfach einen Knoten im Kopf und weiß irgendwie nicht was die da von mir wollen :)

Lili

1094032

1093807

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?