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Differenzieren sie Matrix Q: x^(tr)Qx?

Universität / Fachhochschule

Tags: Differenzieren, quadratische Form

mac-user09 aktiv_icon

16:53 Uhr, 09.05.2013

Hallo,

ich habe ein Problem:

Folgende Aufgabe:

Q \in ℝ^{n \times n},

und

x \in ℝ^{n}

Differenzieren sie die Quadratische Form:

x \mapsto x^{t r a n s p o n i e r t} Q x \in ℝ

Ich weiß, dass ich

x^{t r a n s p o n i e r t} Q x \in ℝ

auch in Summenschreibweise ausdrücken kann.
Da

x^{t r a n s p o n i e r t} Q x \in ℝ

aus den reellen Zahlen stammt, müsste ich doch dann von der Summe einfach die normalen Ableitungsregeln nutzen, oder?

Ich habe leider gar keine Ahnung, was ich hier genau tun soll...

Danke und Grüße
Mac

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

10:53 Uhr, 10.05.2013

Hallo,

Du kannst genau das tun, was Du gesagt hast: die Form als Summe ausdrücken und partiell nach

x_{i}

differenzieren.

Gruß pwm

mac-user09 aktiv_icon

14:33 Uhr, 10.05.2013

Ah, ok....

Ich nenne die Abbildung einfach mal q(x):

q (x) = x^{T} Q x = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k}

, wobei

a_{i k}

für die Matrix steht.

Nun müsste ich ja

q (x)

differenzieren, du sagst nach

x_{i}

, also:

D_{i} q (x) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} D (x_{i}) x_{k}

Wobei

D_{i}

für die Ableitung nach der -ten Komponente steht und

D (x_{i})

für die Ableitung nach

x_{i}

.

Das kann doch so nicht richtig sein?!

Könntest du mir noch etwas mehr helfen?

Grüße
Mac

pwmeyer aktiv_icon

19:11 Uhr, 10.05.2013

Hallo,

naja, die Ableitung eine Funtkion von

ℝ^{n} \to ℝ

ist doch durch die partiellen Ableitungen gegeben. Wenn Du für die SummenIndizes

i

und

k

verwendest, dann solltest Du nicht

i

für den Index der Ableitung nehmen. Also sagen wir, wir suchen die partielle Ableitung nach der Komponenten

x_{ν},

also

\partial_{ν} q (x)

. Dazu braucht man doch nur zu wissen, was

\partial_{ν} (x_{i} \cdot x_{k})

ist, also zum Beispiel

\partial_{2} x_{3} \cdot x_{1}

oder

\partial_{3} x_{1} \cdot x_{3}

etc.

Gruß pwm

mac-user09 aktiv_icon

20:02 Uhr, 10.05.2013

Danke sehr...

Ja, wie die partielle Ableitung geht ist mir klar, jedoch glaube ich, dass ich mit den Indizes nicht klar komme.

Deine beiden Ableitungen sollte doch 0 sein, da keine

x_{2}

enthalten ist...oder?

Könntest du mir vielleicht den ersten oder die ersten beiden Schritte für die Ableitung von meiner Abbildung

q (x)

geben?

Also so Ableitung von q(x) = Summe .... = Summe ...?

Glaube, dass hilft mir mehr, dann sehe ich mit Sicherheit den Zusammenhang besser. Außerdem komme ich dann nicht mehr mit den Indizes durcheinander...

Danke und Grüße
Mac

mac-user09 aktiv_icon

08:55 Uhr, 12.05.2013

Kannst du mir nicht doch noch etwas mehr verraten, was die Lösung angeht?

Das wäre echt nett, ich erwarte nicht und will auch nicht die ganze Lösung, jedoch stehe ich hier irgendwie auf dem Schlauch...

pwmeyer aktiv_icon

09:29 Uhr, 12.05.2013

Hallo,

weniger als die ganze Lösung geht nicht:

q (x) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} \cdot x_{i} \cdot x_{k}

Differentiation nach

x_{m} :

D_{m} q (x) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} \cdot D_{m} [x_{i} \cdot x_{k}] = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} \cdot [(D_{m} x_{i}) \cdot x_{k} + x_{i} \cdot (D_{m} x_{k})] = \sum_{k = 1}^{n} a_{m, k} \cdot x_{k} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i, m} \cdot x_{i}

Je nachdem, was Ihr so definiert habt, wird vielleicht erwartet, dass das noch als Gradient oder Jacobimatrix zusammengefasst wird.

Gruß pwm

mac-user09 aktiv_icon

09:44 Uhr, 12.05.2013

Hi,

danke sehr für die Antwort.

Ach so sollte man das machen...

Ja, wir haben Gradient und Jacobi-Matrix eingeführt.

Wird zwar bei der Aufgabe nicht verlangt, jedoch Interesse halber:
Wie kann ich die beiden da noch einbauen?

Grüße

pwmeyer aktiv_icon

11:26 Uhr, 13.05.2013

Hallo,

als Gradient wäre es

Q^{T} \cdot x + Q \cdot x

.

Gruß pwm

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