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Differntialgleichung 2. Ordnung

Schüler

Tags: Sinus

stinlein aktiv_icon

17:04 Uhr, 18.04.2018

Die Aufgabe lautet:

y'' + 2 y' + 10 y = 5 \cdot sin (2 x)

Ergebnis sollte sein:

y = \frac{5}{26}

+(3sin(2x) - 2cos(2x)

+ e^{- x} (c_{1} cos (3 x) \cdot c_{2} sin ((3 x)

zu sein?!
Gesucht: die allgemeine Lösung!
Bedanke mich für die Hilfe schon im Voraus! DANKE!
Ich habe einmal so begonnen:

λ^{2} + 2 \cdot λ + 10 = 0

λ_{1} = - 1 + \sqrt{3} i

Daraus:

λ_{2} = - 1 - \sqrt{3} i

y_{H} = C_{1} \cdot e^{- 1 + \sqrt{3} i + C_{2} \cdot e^{- 1 - \sqrt{3} i}}

y_{P} =

Ax^2

+

+ C

y_{P}' =

2Ax

+ B

y_{P}'' = 2 A

2 A +

2(2Ax+

B) + 10 (A x^{2} +

+ C) =

5*sin(2x)Daraus:

A = 0; B = \frac{1}{2}; C = - \frac{1}{10}

y_{P} =

Ax^2

+

+ C = \frac{x}{2} - \frac{1}{10}

Allgem. Lösung:

C_{1} \cdot e^{- 1 + \sqrt{3} i} + C_{2} \cdot e^{- 1 - \sqrt{3} i} + \frac{x}{2} - \frac{1}{10}

Ich komme leider nicht zur vorgegebenen Lösung!
Danke allen, die mir da nochmals zur Seite stehen! DANKE!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

17:42 Uhr, 18.04.2018

>

λ1=-1

+ \sqrt{3} i

Falsch - woher kommt denn jetzt die Wurzel?
Richtig ist

λ = - 1 \pm 3 j

>

yH=C1⋅e−1+3i+C2⋅e−1−3i
Sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung konjugiert komplex

\to λ_{1,2} = a \pm j \cdot b

dann schreibst du die Lösung der homogenen DGL besser als

y_{h} = e^{a \cdot x} \cdot (C_{1} \cdot cos (b \cdot x) + C_{2} \cdot sin (b \cdot x))

Die Schreibweise mit e-Funktionen hebst du dir besser für den Fall mit reellen Lösungen von

λ

auf.

Bei dir ist

a = - 1

und

b = 3

und daher

y_{h} = e^{- x} \cdot (c_{1} cos (3 x) + c_{2} sin (3 x))

>

yP= Ax^2

+

+ C

??? Kann es sein, dass du da zwei unterschiedliche Aufgaben durcheinander bringst?
Deine Störfunktion lautet

5 \cdot sin (2 x)

und daher muss der unbestimmte Ansatz

y_{p} = A \cdot cos (2 x) + B \cdot sin (2 x)

lauten.

stinlein aktiv_icon

17:53 Uhr, 18.04.2018

Danke, Roman-22! Bleibe an der Aufgabe dran. Ich habe wieder einmal gepfuscht. Aber es ist mir verschiedenes klarer geworden. Melde mich abends oder morgen nochmals, falls ich nicht zum richtigen Ergebnis komme.
Danke dir nochmals ganz lieb für die tollen Hinweise, die ich beachten werde. DANKE!
stinlein

Roman-22

18:09 Uhr, 18.04.2018

Nur der Vollständigkeit halber, da du eingangs die Musterlösung ja falsch wiedergegeben hast:
Du solltest

A = - \frac{5}{13}

und

B = \frac{15}{26}

erhalten, womit sich dann die Lösung

y = \frac{5}{26} \cdot [3 sin (2 x) - 2 cos (2 x)] + e^{- x} \cdot [c_{1} cos (3 x) + c_{2} sin (3 x)]

ergibt.

stinlein aktiv_icon

20:53 Uhr, 18.04.2018

Allerliebsten Dank für deine Hilfe. Die Aufgabe konnte ich mit deiner Hilfe lösen. DANKE!
stinlein

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