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Dimension Basis Kern

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Lineare Abbildungen

Tags: basis, dimension, Funktion, Kern, Lineare Abbildungen

SAprilash aktiv_icon

21:42 Uhr, 04.11.2009

Wir betrachten die lineare Abbildung

φ : ℝ^{3}

⇒

ℝ^{2}

mit

φ (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x 1 - x 2 \\ x 2 - x 3 \end{matrix})

Bestimmen Sie eine Basis des Kerns ker

(φ)

dieser linearen Abbildung. Wie groß ist die Dimension des Kerns?

Ich komme da ein bisschen durcheinander mit den Begriffen Kern, Basis und Dimension. Wäre nett wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte und einen Lösungsweg angeben könnte!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Logarithmusgesetze - Einführung

michaL aktiv_icon

22:08 Uhr, 04.11.2009

Hallo Tom,

der Kern einer linearen Abbildung

φ : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

ist in diesem Fall diejenige Teilmenge

\ker (φ) \subseteq ℝ^{3}

, deren Elemente auf die Null (

\in ℝ^{2}

) abgebildet werden. Es findet sich, dass

\ker (φ)

stets ein Untervektorraum Des Urbilsraums ist.

Um

\ker (φ)

zu bestimmen, musst du (natürlich) folgendes Gleichungssystem (LGS) lösen:

x_{1} - x_{2} = 0

x_{2} - x_{3} = 0

In diesem Fall liefert das LGS keine eindeutige Lösung, da die Dimension des Urraumes größer ist als die des Bilsraumes (und beide endlich sind). Es gilt nämlich der Kern-Bild-Satz:

\dim (\ker (φ)) + \dim (im (φ)) = \dim (ℝ^{3}) = 3

, aber

\dim (im (φ)) \leq 2

.

Dabei steht

für die Menge aller Bilder und ist ebenfalls ein Untervektorraum, allerdings von

ℝ^{2}

.

Jetzt musst du nur noch (LGS) lösen.

Mfg Michael

SAprilash aktiv_icon

16:38 Uhr, 05.11.2009

Ok schonmal vielen Dank! Also muss ich jetzt bei

(x 1 - x 2 = 0, x 2 - x 3 =

0)für

x 1, x 2, x 3

irgendwelche beliebigen Zahlen einsetzen die zusammengerechnet jeweils 0 ergeben? Und die Zahlen würden dann eine Basis des Kerns sein, oder wie habe ich mir das Lösen des LGS jetzt vorzustellen?

Sandra86 aktiv_icon

18:48 Uhr, 05.11.2009

Huhu,

mische dann mal hier mit, da ich die Aufgabe ja auch lösen muss.

Mein lineares Gleichungssystem sähe so aus:

(\begin{matrix} 1 & - 1 | 0 \\ 1 & - 1 | 0 \end{matrix}) | I \cdot (- 1)

und I

+

\Rightarrow (\begin{matrix} 1 & - 1 | 0 \\ 0 & 0 | 0 \end{matrix})

Dann kann man ja nicht mehr weiter machen. Habe in dem Mathematik Vorkurs mal gehört, dass man dann für

x_{2}

oder

x_{1}

ein

t

oder ein

s

wählen soll.

Wenn man

x_{2} = t

wählt steht da:

x_{1} - t = 0

\Rightarrow x_{1} = t

Dann wären ja

x_{2}

und

x_{1}

gleich

t

. Also

(\begin{matrix} t \\ t \end{matrix})

und wenn man

t

ausklammert:

t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Ist das dann der Kern?

michaL aktiv_icon

20:42 Uhr, 05.11.2009

Hallo Tom und Sandra,

@Tom:
sieht gut und richtig aus. Mach mal weiter und lass es hier anschauen.

@Sandra: Nein, dein LGS müsste doch so aussehen:

1 - 10 ∣ 0

01 - 1 ∣ 0

Es muss doch auch ein Vektor der Urbilder rauskommen, das hatten wir doch schon. Aber die Lösungsstrategie ist grundsätzlich ok.

Mfg Michael

Sandra86 aktiv_icon

21:16 Uhr, 05.11.2009

Ich verzweifel noch an dieser Aufgabe. Ich kapiers einfach vom Grundsatz her nicht.

Nur weil das Urbild dreidimensional ist muss ich auch drei Zahlen jeweils in den Zeilen des LGS stehen haben?

Bei dem LGS, welches du angegeben hast bekomme ich aber trotzdem

t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

raus. Da konnte ich mir das addieren der Zeilen ja sparen und habe direkt ein

t

gewählt, weil man ja sonst auf keine Lösung gekommen wäre.

Wenn das wieder falsch ist, kannst du mir das dann vielleicht mal kleinschrittig erklären, wie so eine Lösung aufgebaut ist? Ich verstehe nämlich den Grundgedanken von dieser Aufgabe nicht.

SAprilash aktiv_icon

21:18 Uhr, 05.11.2009

Also ich würde es genau so machen wie Sandra. Für

x 1, x 2, x 3

jeweils eine 1 nehmen usw. und das ganze dann genau so lösen. Erscheint mir auch schlüssig und richtig. Allerdings versteh ich das korrigierte LGS mal überhaupt nicht. Wieso steht da jetzt auf einmal eine

10

p4ulcH3N

21:36 Uhr, 05.11.2009

er meint natürlich
1 -1 0
0 1 -1

und nicht 10 ... weils ja
1x_1 - 1x_2 + 0x_3
0x_1 + 1x_2 - 1x_3 ist

daraus erhaltet ihr dann für x_1 , x_2 , x_3 = t

Ich bin übrigens auch in eurer Mathevorlesung von Georg Hein :-D)

SAprilash aktiv_icon

22:06 Uhr, 05.11.2009

Super vielen Dank! Dann is ja jetzt alles klar! :-) Hehe, hab mich schon umgesehen in den Foren. Schreiben ja echt einige Leute aus der Vorlesung in Foren bezüglich der Aufgaben! ;-)

michaL aktiv_icon

22:27 Uhr, 05.11.2009

Hallo Sandra,

jetzt ist alles richtig, sorry wegen der Zahlen, hab nicht darauf geachtet, dass da kein spacing eingesetzt wird.

Mfg Michael

plornt aktiv_icon

18:07 Uhr, 06.11.2009

Ahoi,

also habe ich das richtig verstanden, dass

$t = {\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix}}$ der Kern der linearen Abbildung ist und die Dimension gleich 0 ist, da im LGS

$(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$

nach dem Auflösen keine Zeile mit Nullen vorhanden ist?

MfG

p4ulcH3N

18:14 Uhr, 06.11.2009

dein LGS ist falsch ...

(\begin{array}{rcl} 1 & - 1 & 0 & ∣ 0 \\ 0 & 1 & - 1 & ∣ 0 \end{array})

Euler87 aktiv_icon

18:59 Uhr, 06.11.2009

hmm hab diese aufgabe auch nicht lösen können. ich blicke hier aber auch irgendwie nicht durch..was ist denn nun das ergebnis dieser aufgabe?

plornt aktiv_icon

10:59 Uhr, 07.11.2009

Moin.

Mal schauen, ob ich das nun richtig verstanden habe, wenn nicht, dann wäre ich über Hilfe dankbar.

$φ : R^{3} \to R^{2}$ heißt also nichts anderes, als dass es sich hier um eine Teilmenge von R3 handelt, deren Elemente im R2 auf Null abgebildet werden. Um nun den Kern zu bestimmen muss ich ein LGS aufstellen. Da es ja im R2 abgebildet wird, brauche ich zwei Gleichungen.

$1 x_{1} - 1 x_{2} + 0 x_{3} = 0 0 x_{1} + 1 x_{2} - 1 x_{3} = 0$

Dies ist dann nichts anderes als:

$(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

Diese Matrix kann ich dann soweit auflösen, dass folgendes rauskommt.

$(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

Dies bedeutet doch, dass bei jedem der x1, x2, x3 eine 1 steht. Wenn ich nun für x ein t einsetze, dann kommt doch irgendwann raus:

$t = x_{1}, x_{2}, x_{3}$

Der Kern der Abildung muss dann wieder aus dem R3 kommen, da von ihm ins R2 abgebildet wird. Also:

$t = \begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} \\ x_{3} \end{matrix}$ und da x jeweils eins ist, lautet der Kern $t = (\begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$ .

Nun habe ich gelesen, dass die Dimension durch die Anzahl der Nullzeilen bestimmt wird. Da nun aber das LGS keine Nullzeile hat, ist die Dimension ebenfalls Null.

Ich hoffe, ich habe es zumindest ein bischen verstanden, wenn nicht, wäre ich dankbar für aufklärung.

michaL aktiv_icon

11:19 Uhr, 07.11.2009

Hallo Alexander,

dein ursprüngliches LGS (Lineares GleichungsSystem) ist richtig, deine erste (und einzige) Umformung ist falsch!

Jetzt zur Dimension und Lösbarkeit: Du hast drei Variablen, aber nur zwei Gleichungen, folglich HAST du schon eine Nullzeile, die aber schon eingespart wurde. Passt das in dein "Wissen" hinein? Die Aussage der Nullzeilen bezieht sich nämlich eigentlich auf quadratische Systeme.

Anders ausgedrückt: Jede Gleichung ist eine Information, für die Bestimmung einer Variablen braucht man genau eine Information. Hat also ein LGS weniger Informationen als Gleichungen, so hat es (bis auf pervers konstruierte Sonderfälle) unendlich viele Lösungen. Warum das? Nehmen wir das Beispiel von oben:

1 . - 1.0 ∣ 0

0.1 . - 1 ∣ 0

(Die Punkte sind dazu da, dass die Zahlen nicht zusammen rücken!)

Äquivalent dazu (1.+2.):

1.0 . - 1 ∣ 0

0.1 . - 1 ∣ 0

Wir haben eigentlich nur genug Informationen für zwei Variablen, die dritte bleibt "unbestimmt", man kann sie frei wählen (ob man die dritte frei wählen darf, hängt vom Aussehen des LGS ab. Man kann auf jeden Fall eine solche Variable frei wählen, die in jeder Zeile, und dort nicht allein vorkommt.)

Wenn du so willst, handelt es sich um unendlich viele LGS, je nachdem, wie

x_{3}

gewählt wird (als Zahl und auf die andere Seite gebracht).
Logisch ergeben sich dann auch unendlich viele Lösungen.

Noch nebenbei: Kann man mehrere Variablen frei wählen, so wählt man immer alle bis auf eine gleich Null, die eine gleich 1 (oder eben dieses ominöse

t

, das ihr verwendet). Und das immer reihum.

So, soviel als Erklärung. Jetzt noch ne ernst gemeinte Frage:
Was studiert ihr eigentlich? Keine Mathematik als Hauptfach, oder? Und: Musstet ihr für euer Abitur kein Mathematik belegen (Vektorrechnung)? Da werden Gleichungssysteme nämlich abgearbeitet.

So, und jetzt hab ich noch ein paar Zeilen gelöscht, in denen der ganze Frust über Schule und Mathe stand, dem ich jeden Tag ausgesetzt bin.

Mfg Michael

Sandra86 aktiv_icon

11:33 Uhr, 07.11.2009

Guten Morgen Michael,

Nein, wir studieren kein Mathematik. Ich glaube ich gehe recht in der Annahme, dass wir alle entweder BWL, VWL, Wirtschaftsinformatik oder sonst ein wirtschaftswissenschaftliches Fach studieren. Deshalb ist das auch einfach schwer für uns

\land

.

Unser Dozent bedenkt einfach nicht, dass er keine Hardcore Mathe Nerds vor sich hat, sondern unter anderem auch Leute, die nach ihrem Abitur zum Beispiel schon eine (kaufmännische) Ausbildung gemacht haben und seitdem nicht viel mit höherer (oder niederer :-) ) Mathematik zu tun hatten. Es ist einfach sehr schwer da wieder reinzukommen, wenn er so durch sein Skript flitzt. Aber wir versuchen halt mitzukommen.(siehe dieses Forum, dass wir im Moment scheinbar zukleistern mit unseren Fragen) Einige von uns waren ja auch schon beim Vorkurs Mathematik im September, um die Mathekenntnisse mal wieder aufzufrischen. Hat auch teilweise schon sehr geholfen. Ohne den Vorkurs wüsste ich

z

. B. gar nicht mehr wie man ein LGS löst.

Nunja, das als Erklärung für dich :-)

Also zurück zur Aufgabe:

Wir haben eine Nullzeile, die im LGS nicht mit angezeigt wird, ok. Ich hatte auch irgendwie gedacht, dass wir in einen zweidimensionalen Raum abbilden und deshalb das LGS nur zwei Zeilen haben muss. (Bzw. zwei Zahlen pro Zeile, ich hatte ja zuerst die Nullen in den Zeilen weggelassen). Aber demnach wäre ja die Dimension des LGS eins, wenn die Dimension die Anzahl der Nullzeilen ist.

So und die andere Aufgabe, die wir lösen müssen such ich mir auch noch hier im Forum raus, bzw. werd sie noch posten, falls ich nix dazu finde.

SAprilash aktiv_icon

13:07 Uhr, 07.11.2009

Hey Sandra! Die 2 Frage hab ich sogar selbst lösen können. Man soll ja untersuchen für welche reellen Zahlen die Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & a \end{matrix})

regulär ist. Jetzt rechnet man einfach die Determinante aus (den Begriff kennst vielleicht noch nicht. Jedenfalls rechnet die sich so aus:

1 \cdot a - 2 \cdot 2

. Du musst also jeweils die beiden Diagonalen miteinander multiplizieren. Einmal von links oben nach rechts unten und einmal von links unten nach rechts oben und dann die zweite Diagonale von der ersten abziehen. Für eine

3 x 3

Matrix ist das widerrum was komplizierter, aber hier haben wir ja eine

2 x 2

Matrix. Jedenfalls kriegst du letztendlich

1 a - 4

raus. Jetzt ist die Matrix A für alle Zahlen regulär für die Determinante nicht 0 ergibt. Also alle Zahlen außer

4!

:-)

Sandra86 aktiv_icon

13:30 Uhr, 07.11.2009

Na das war ja gar nicht so schwer. Hatte mich schon drangesetzt und in alle Skripte geguckt die ich finden konnte und dann auch

a - 4

raus. Aber in den Skripten ging das noch weiter und ich hab dann einfach munter weitergerechnet mit der Determinante. Dass man einfach nur die

a - 4

braucht war mir irgendwie nicht klar.

Super, danke :-)

Sandra86 aktiv_icon

13:34 Uhr, 07.11.2009

Mir ist jetzt auch aufgefallen, dass die Aufgabe gar nicht sagt, dass die Matrix regulär ist.

Google hab ich schon des öfteren bemüht, auch für diese Aufgabe.

Wenn A regulär sein soll muss, laut wiki, ja auch das Inverse von ihr existieren, richtig?

Ich hab das genau nach dem Schema gemacht, wie wikipedia das angibt.

A^{- 1} = \frac{1}{a - 4} (\begin{matrix} a & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix})

und dann hab ich mir auch nochmal den Thread zur vorigen Frage durchgelesen und Kollege Saprilash schrieb, dass man einfach nur die Determinante braucht. Ich dachte man muss die

a - 4

noch in die Matrix reinziehen und dann weiterrechnen um irgendwie auf einen Wert für a zu kommen. Muss man ja gar nicht. Also ist die Matrix regulär für alle Zahlen außer 4. Dann wäre die Determinante ja null.

Nunja, damit hat sich diese Frage ja auch schon wieder erübrigt. :-)

Ein Hoch auf den Fisch :-)

p4ulcH3N

13:47 Uhr, 07.11.2009

Die 3.1 war wohl die "schwierigste" Aufgabe /:
Ich kann euch die anderen Lösungen auch mailen, falls ihr damit Probleme haben solltet. Das ist aber echt nur noch Schulmathematik.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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