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Dimension Bild/Urbildraum

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

morbach1234 aktiv_icon

20:58 Uhr, 12.02.2018

Servus,

bräuchte mal Hilfestellung bei folgender Aufgabe:

Sei

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

die Matrix einer linearen Abbildung.

Bestimmen Sie die Dimension des Bild- und Urbildraums mit Begründung!

Ich weiß nicht wirklich wie ich vorgehen soll.

ledum aktiv_icon

21:45 Uhr, 12.02.2018

Hallo
da du

{(1,0)}^{T}

und

{(0,1)}^{T}

abbilden kannst also eine Basis des

ℝ^{2}

ist das urbild ganz

ℝ^{2},

da die 2 Bilder lin unabhängig sind ist auch der Bildraum ganz

ℝ^{2}

.
Gruß ledum

morbach1234 aktiv_icon

21:53 Uhr, 12.02.2018

Okay aber wie kommt man darauf? Gibt es ein bestimmtes Schema, welches man hier immer anwenden kann?

ledum aktiv_icon

22:22 Uhr, 12.02.2018

Hallo
die Basisvektoren abbilden kann man immer, der Urbildraum hat also bei

n \times n

Matrizen Immer die dimension

n

wenn du die bilder der basisvektoren hast hast du alle Bilder als Linearkombination, also spannen die Bilder der Basisvektoren den Bildraum auf.
gruß ledum

goldie98 aktiv_icon

22:39 Uhr, 12.02.2018

Hallo,

Für den Bildraum überlegst du dir:

(\begin{array}{rcl} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}) (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 x + y \\ x + 2 y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \end{array}) x + (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \end{array}) y

Die beiden Vektoren spannen den

ℝ^{2}

auf.

Wie du auf den Urbildraum kommst, hat dir ledum geschrieben. Du kannst die Basisvektoren des

ℝ^{2}

abbilden, also auch jeden anderen beliebigen Vektor aus

ℝ^{2}

. Mit dem

ℝ^{3}

ginge das zum Beispiel nicht.

LG Max

ermanus aktiv_icon

22:58 Uhr, 12.02.2018

Hallo,
vorsichtshalber schau noch mal in eure Definition des Bildraumes.
Viele (so wie ich) unterscheiden zwischen dem Bild und dem Bildraum.
Wie habt ihr das definiert?
Nach der von mir verwendeten Definition ist der Bildraum einfach der Zielraum, seine Dimension
also die Zeilenanzahl der Matrix, so wie die Spaltenanzahl der Matrix einfach die Dimension
des Urbildraumes ist. Das Bild ist hingegen der Unterraum des Bildraumes, der gleich
der Menge der Bildvektoren unter der linearen Abbildung ist.

Also bei mir ist die Benennung so:

f : V \to W

V

ist der Urbildraum,

W

ist der Bildraum,

f (V) \subseteq W

ist das Bild.

Wie sind bei euch die Benennungen ?

goldie98 aktiv_icon

23:09 Uhr, 12.02.2018

In meinen Aufzeichnungen steht dieselbe Definition. Da hatte ich wohl einen Denkfehler.

ermanus aktiv_icon

23:15 Uhr, 12.02.2018

Jetzt müssen wir nur noch abwarten, was morbach1234 in seinen Unterlagen stehen hat ;-)
Gruß ermanus

morbach1234 aktiv_icon

21:02 Uhr, 13.02.2018

Hallo,

ich lerne eher weniger mit dem Skript unseres Profs, da ich mit diesem nicht gut klar komme... Somit kann ich auch leider ich sagen wie bei uns die Mathematische Definition beschrieben ist.

Also ich denke mal das ich es jetzt verstanden habe:

Dimension des Bildraumes ist bei meinem Beispiel

ℝ^{2}

und die des Urbildraumes ebenfalls

ℝ^{2}

Um die Dimension des Bildraumes zu definieren muss ich einfach einen Vektor meiner Wahl mit der Matrix multiplizieren und erhalte somit meinen neuen Vekor dessen Dimension dann die des Bildraumes ist?
Und die Dimension des Urbildraumes ist einfach die Spaltenzahl der Matrix?

So wie ich es jetzt verstanden habe kann bei einer beispielsweise

2 x 2

Matrix nichts anderes als

ℝ^{2}

bei der Dimesnion des Beldraumes als auch Urbildraumes raus kommen?

ermanus aktiv_icon

21:16 Uhr, 13.02.2018

Ja, so sehe ich das auch.
Aber für dich ist es schon wichtig, dass du die exakten Definitionen
deines Profs. benutzt; denn Definitionen weichen manchmal von Mathematiker zu Mathematiker
ab. Wenn du also in einer Klausur eine andere Definition zugrundelegst als
der Aufgabensteller, kann das in die Hose gehen.

morbach1234 aktiv_icon

22:12 Uhr, 13.02.2018

Zu der selben Matrix soll ich nun die Eigenvektoren bestimmen.
Als Eigenwerte hab ich:

λ_{1} = 3

und

λ_{2} = 1

Wenn ich nun

λ

einsetze und das ganze in ein Gleichungssystem mit

x_{1}

und

x_{2}

packe, kommt immer 0 raus.
Muss ich hier noch etwas ergänzen?

ermanus aktiv_icon

22:25 Uhr, 13.02.2018

λ_{1} = 3

liefert zur Bestimmung der Eigenvektoren:

(\begin{array}{rr} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}) x = 0

.
Hier erzeugt

(1, 1)^{T}

den Eigenraum.

Entsprechend für

λ_{2} = 1

morbach1234 aktiv_icon

09:21 Uhr, 14.02.2018

Ok habs verstanden.

Jetzt soll ich zeigen das

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

ein Eigenvektor ist (selbe Ausgangsmatrix)

Dürfte ja kein Problem sein, jedoch fehlen mir hierzu noch die Eigenwerte (welche ich erst im nächsten Aufgabenteil bestimmen soll) um dass richtige Gleichungssystem aufstellen zu können. Bei diesen einfachen Werten könnte ich raten aber wie ist der rechnerische Weg?

ermanus aktiv_icon

09:42 Uhr, 14.02.2018

Hallo,

sei

v

dein spezieller Vektor. Dann musst du gemäß der Definition (!)
von Eigenvektor gucken, ob

A v

ein skalares Vielfaches von

v

ist.

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