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Dimension Kern

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

xH0pp aktiv_icon

02:18 Uhr, 17.12.2017

kann mir jemand zeigen wie ich ich das zeige ? Ich hatte gedacht an der Dimensionsformel aber ich komme nicht weiter.
kann mir jemand bei dem beweis helfen?. vielen dank im voraus

\land

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:09 Uhr, 17.12.2017

Man kann

V

als direkte Summe

K e r n (φ) \oplus U

darstellen,

U

ist einfach der Komplementärraum.
Dann gilt

K e r n (φ^{2}) = (K e r n (φ^{2}) \cap K e r n (φ)) \oplus (K e r n (φ^{2}) \cap U) = K e r n (φ) \oplus (K e r n (φ^{2}) \cap U)

,
denn es gilt trivialerweise

K e r n (φ) \subseteq K e r n (φ^{2})

.

Die Einschränkung

φ_{U}

ist injektiv, per Konstruktion.
Wenn

v_{1}, . . ., v_{k}

eine Basis von

K e r n (φ^{2}) \cap U

ist, so sind alle

φ (v_{i})

K e r n (φ)

und sind linear unabhängig, denn

φ_{U}

ist injektiv. Damit gilt

\dim (K e r n (φ^{2}) \cap U) \leq \dim (K e r n (φ))

Perroflautaa aktiv_icon

00:52 Uhr, 18.12.2017

Sollte am ende nicht dim(kern(phi^2))

\leq 2 \cdot

dim(kern(phi)) rauskommen ?

DrBoogie aktiv_icon

13:11 Uhr, 18.12.2017

Ja, und genauso kommt es auch raus.

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