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Dimension Kern einer Matrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: dimension, Kern, Matrizenrechnung
 
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Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe. Zeigen Sie, dass Kern Ich habe gesehen, dass man es wohl über die Determinante lösen könnte allerdings haben wir diese noch nicht behandelt und müssen es daher ohne versuchen. Ich freue mich über Lösungsansätze. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Guten Abend, mag sein, dass es an meiner Unkenntnis liegt, aber ich vermute mal wir sehen hier nicht die gesamte Aufgabe. Also gibt bitte die ganze Aufgabe an, dann kann dir vielleicht auch jemand helfen. Viele Grüße |
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Nein leider ist das die gesamte Aufgabe, weshalb ich auch ziemlich verwirrt bin da ich nicht weiß was mit gemeint ist |
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Das ist bestimmt nicht die ganze Aufgabe, du hast sie nur nicht verstanden. Poste das Originalbild, dann werde ich es dir erklären. Ich habe zwar eine sehr starke Vermutung, wie sie aussieht, aber zur Sicherheit muss das Originalbild her. |
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Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem dessen Lösungsmenge nicht leer ist. |
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Und siehe da, es sieht gar nicht so aus, wie du das geschrieben hast! Da siehst du z.B. . Diese geschweiften Klammern bedeuten "Menge", in diesem Fall die Menge aus einem einzigen Vektor . Wenn du aber diese Klammern durch () ersetzt, wird daraus ein ganz anderes Objekt! Immer darauf achten, richtige Symbole zu nutzen! Die Aussage ist also: ein lineares System hat genau eine Lösung genau dann wenn die Dimension des Kerns 0 ist. Der Beweis ist einfach. Die Richtung =>. Wir wissen: es gibt eine einzige Lösung . Angenommen, dim vom Kern wäre . Dann hätten wir im Kern einen Vektor => wäre auch eine Lösung von , wegen . Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass es nur eine Lösung gibt. Die Richtung <= Wir wissen, dass dim Kern =0. Angenommen, es gäbe zwei Lösungen von , und , . Dann wäre im Kern von (warum?), damit hätten wir Widerspruch (warum?). Also, die Lösung ist eindeutig. |
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