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Dimension der Summe

Universität / Fachhochschule

Tags: dimension, Untervektorraum

Zain98

12:17 Uhr, 20.11.2019

Hallo an alle,

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Über die Untervektorräume

U, W

€R^10 ist nur bekannt, dass

dim (U) = 7

und

dim (W) = 4

1.Die Frage ist welche Werte für

dim (U + W)

sind möglich.
2.für jeden möglichen Wert von

dim (U + W)

ist ein Beispiel zu nennen.
3.kann die summe dierekt sein?

Ich freue mich auf jeder Erklärung, Hinweis und Vorschlag:-)

Bummerang

13:18 Uhr, 20.11.2019

Hallo,

Sei

U = L {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

Dann betrachte:

V_{1} = L {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

V_{2} = L {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

V_{3} = L {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

V_{4} = L {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

Ermittle

U + V

und die Dimension dazu. Dann überlege, warum es nicht mehr

V_{k}

geben kann und warum die Summe direkt ist bzw. nicht direkt sein kann.

Zain98

22:44 Uhr, 21.11.2019

Danke für die Antwort. Die Aufgabe wurde mir klarer geworden, bin aber immer noch nicht sicher wie ich die beispiele stellen muss für zum Beispiel

dim U + W = 7,8,9

und

10

dim U = 7

und

dim W = 4

sind heißt es für

U

gibt es 7 vektoren von Grad

10

und für

W

gibt es 4 vektoren von Grad

10

auch .. wird also zum Beispiel der Grad der Vektoren 8 sein im Fall

dim U + W = 8

? Und wie wird sich das Beispiel mathematisch darstellen?

ermanus aktiv_icon

09:36 Uhr, 22.11.2019

Hallo,
ich verstehe deine Frage nicht. Bummerang hat dir doch für jeden der Werte

7, 8, 9

und

10

ein konkretes Beispiel angegeben.
Was meinst du eigentlich mit dem "Grad" eines Vektors?
Ich nehme übrigens an, dass ihr den Dimensionssatz für Unterräume
behandelt habt, da die Aufgabe auf diesen zugeschnitten zu sein scheint:

\dim (U + V) = \dim (U) + \dim (V) - \dim (U \cap V)

.

Du solltest dir auch überlegen, inwiefern Bummerangs Beispiel
die allgemeine Situation abdeckt, was Basen etc. betrifft.

Gruß ermanus

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