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Dimension des Bildes bestimmen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Bild, dimension, Kern, Körper, Monomorphismus

Mai05 aktiv_icon

14:34 Uhr, 28.01.2021

Hallo, ich habe den Körper

K

und den Monomorphismus

f : K^{4} \to K^{6}

gegeben.
Jetzt soll ich anhand dieser Vorgaben bestimmen, welche Dimension das Bild von

f

hat.

Ich würde gern den Dimensionssatz
dimf = dimimf

+

dimkerf verwenden

Dafür bekomme ich dimf aus

K^{4} \to K^{6},

also dimf=4*6=24, richtig?

Alerdings weiß ich nicht, wie ich jetzt die Dimension des Kerns von

f

bestimmen soll, um dann die Gleichung zu lösen.

PS: Ich wollte hier zunächst die Dimension des Kerns ausrechnen, weil mir das sonst immer leichter gefallen ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 28.01.2021

"Dafür bekomme ich dimf aus K4→K6, also dimf=4*6=24, richtig?"

Nein und keine Ahnung wie du darauf kommst.
Im Übrigen hast auch eine komische Form des Dimensionssatzes. Denn was soll

\dim (f)

? Bedeuten? Abbildungen haben keine Dimensionen.

"PS: Ich wollte hier zunächst die Dimension des Kerns ausrechnen, weil mir das sonst immer leichter gefallen ist."

Keine schlechte Idee. Besonders weil man in diesem Fall auch nicht rechnen muss. Welche Dimension hat der Kern eines Monomorphismus? Das ist immer dieselbe Zahl.

Mai05 aktiv_icon

14:55 Uhr, 28.01.2021

Also

f

ist ein Monomorphismus (bzw. injektiv), wenn kerf=0 gilt.

Aber wenn ich die Dimensionsformel nicht anwenden kann, dann hilft mir das doch nicht, oder doch?

DrBoogie aktiv_icon

14:58 Uhr, 28.01.2021

Du darfst sie natürlich anwenden. Ich meinte nur, dass sie komisch aussieht.
Eigentlich ist sie