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Dimension einer linearen Hülle dreier Vektoren

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: basis, dimension, Lineare Unabhängigkeit, Rang, Vektorraum

flogger aktiv_icon

08:45 Uhr, 14.02.2019

Moin liebes Mathe-Forum,

ich hätte ein paar Verständnisfragen bezüglich einer Aufgabe.
Erst mal worum es geht:

Gegeben:

\vec{v_{1}}

(\begin{array}{rcl} 2 \\ 3 \\ - 4 \\ 2 \end{array})

\vec{v_{2}}

(\begin{array}{rcl} 1 \\ - 6 \\ 13 \\ - 14 \end{array})

\vec{v_{3}}

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 3 \\ - 5 \\ 4 \end{array})

1)Sind die Vektoren linear unabhängig?
2)Dimension V = <

\vec{v_{1}}

\vec{v_{2}}

\vec{v_{3}}

> als Untervektorraum vom

R^{4}

?
3)Eine Basis von V?

So, nun zu dem, was ich bereits getan habe.
1) Ich habe für die 3 Vektoren ein lineares Gleichungssystem angelegt und mittels Gauß-Jordan-Verfahren blieb folgendes übrig:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{- 1}{5} \end{array})

Es stellte sich heraus, dass zwei Zeilen(vektoren?) linear abhängig sind.

An dieser Stelle meine erste Frage: Bedeutet das jetzt konkret, dass die letzten 2 Einträge jedes Vektors überflüssig sind? Können sie weggelassen werden? Handelt es sich also quasi um Vektoren des

R^{2}

? An dieser Stelle scheine ich ein kleines Blackout zu haben.
Wenn nicht, was bedeutet es dann?

2)Gauß-Jordan lieferte mir 2 Null- und 2 Nichtnullzeilen. Deute ich die Definition der Dimension richtig, so ist die Anzahl der Nichtnullzeilen die Dimension, welche die lineare Hülle der Vektoren aufspannen. Die Antwort wäre also dim = 2. Ist das korrekt? Gibt es eine verständlichere Erklärung der Dimension von einer linearen Hülle?

3)Da dim=2 bedeutet, dass die lineare Hülle den

R^{2}

aufspannt, würde ich behaupten
B=(

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array})

) (die ersten beiden Spaltenvektoren des LGS aus 1) sei eine Basis.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und schon einmal vielen vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

ledum aktiv_icon

12:16 Uhr, 14.02.2019

Hallo
1. alle Vektoren im

ℝ^{4}

müssen natürlich 4 Komponenten haben, auch wenn sie in einem Unterraum liegen.
Vom

ℝ^{3}

kennst du sicher

2 d

Unterräume also Ebenen durch 0 die von 2 Vektoren aufgespannt Weden, oder Geraden durch 0 die von einem Vektor aufgespannt werden.
Dass du da also 2 Vektoren mit nur 3 Komponenten im

ℝ^{4}

hingeschrieben hast ist falsch.
Wenn unter deinen 3 gegebenen Vektoren nur 2 Lin unabhängig sind ist der UR

2 d,

aber ein Basis besteht dann aus den verbleibenden 2 Vektoren. Wieder stell dir im

ℝ^{3}

vor, gegeben 3 Vektoren

v_{1}, v_{2}, v_{3}

die in einer Ebene durch 0 liegen, dann sind sie Lin abhängig und nur 2 Lin unabhängig jetzt kannst du jeden Punkt dieser Ebene also des

2 d

Unterraums mit

r \cdot v_{1} + s \cdot v_{2}

erreichen oder mit rv_2+sv_3
du kannst also 2 linear unabhängige beliebig aus den 3 aussuchen.

v_{1} . V 2

bilden also ne Basis oder

v_{1}, v_{3}

(wenn sie nicht proportional sind
aber

(1,0,0), (0,1,0)

liegen wohl im Allgemeinen nicht in der Ebene von

v_{1}

und

v_{2}

Die dim einer Lin Hülle = Maximalzahl linear unabhängig. Vektoren in der Hülle
Gruß ledum

flogger aktiv_icon

12:35 Uhr, 14.02.2019

Danke schon mal für deine Antwort.
Ich hätte noch ein paar Rückfragen.

1)

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{- 1}{5} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

habe ich explizit am Ende meines LGS noch übrig. Was geht nun aus den 2 Nullzeilen hervor? Was sagen diese über die 3 Vektoren aus? Aus einer Nullzeile kann man ja lineare Abhängigkeit schließen, wie sieht es aber aus, wenn weitere Nullzeile dazu kommen? Sagt die Anzahl der Nullzeilen etwas aus? Irgendwie habe ich da einen Hänger.

2) Wäre die Dimension der linearen Hülle der drei Vektoren in meinem Beispiel also konkret dim = 2?

Dankeschön!

ledum aktiv_icon

12:30 Uhr, 15.02.2019

Hallo
üblicherweise schreibt man die 3 Vektoren als Zeilen und versucht dann ob man eine 0 Zeile bekommt.
du hast das GS av1+bv2+cv3=0 offensichtlich hingeschrieben. dein Ergebnis sagt, dann dass man

a, b, c \neq 0

finden kann also sind die Vektoren linear abhängig, das hat nichts mit den Nullzeilen zu tun, die ja für alle

a, b, c

richtig sind

z . B c = 5, b = 1, a = - 3

Gruß ledum

godzilla12 aktiv_icon

03:06 Uhr, 17.02.2019

Für die Lösung deines LGS habe ich mir einen speziellen Divisionstrick ausgedacht:

2 x + y + z = 0 | : y (1 a)

x - 2 y + z = 0 | : y (1 b)

4 x - 13 y + 5 z = 0 | : y (1 c)

x - 7 y + 2 z = 0 | : y (1 d)

Kürzen durch den ggt nicht vergessen in ( 1bd

);

auch Gleichungen sind zu kürzen.
Durch den Divisionstrick wird die Anzahl der Unbekannten auf zwei erniedrigt; und zwei Unbekannte gelten als beherrschbar. Trotz der Division bleibt das GS linear, weil ja rechts Null steht. Ich setze noch

X := \frac{x}{y}; Z := \frac{z}{y} (2)

In den Unbekannten

(2)

lauten

(1 a - d)

nunmehr

2 X + Z = (- 1) (3 a)

X + Z = 2 (3 b)

4 X + 5 Z = 13 (3 c)

X + 2 Z = 7 (3 d)

Jetzt auf einmal erweist sich alles als Kinder leicht; man sieht doch sofort, dass du in

(3 b)

substituieren musst

u := X + Z = 2 (4)

u

eingesetzt in

(3 a)

X + u = (- 1) \to X = (- 3) (5 a)

und entsprechend in

(3 d)

u + Z = 7 \to Z = 5 (5 d)

Du musst llerdings noch die Probe auf

(3 a - d)

machen; dann lautet der Kernvektor

Kern

= (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) (6)

Eine Klippe bliebe allerdings noch zu umschiffen; Division durch

y

ist ja nur statthaft, wenn es Lösungen gibt mit

y > 0

. Doch können wir Entwarnung geben; wenn du

y = 0

setzt, sind ja bereits ( 1ab ) linear unabhängig, wie man elementar sofort einsieht.

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