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Dimension eines Lösungsraums

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineares Gleichungssystem

romaen88 aktiv_icon

15:06 Uhr, 28.01.2014

Hallo Leute,

folgendes Beispiel beschert mir Kopfzerbrechen.

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

$a - b + c - d + e = 5 2 a + b - 2 c + 4 d + e = 4 3 b - 4 c + 7 d - 2 e = - 3 d - e = 3$

1) Lösen Sie das Gleichungssystem und notieren Sie die Lösung in Parameterform.

2) Ermitteln Sie die Lösung des mit obigen Gleichungssystem korresponiderenden homogenen Gleichungssystems und notieren Sie die Lösung in Parameterform.

3) Welche Dimension hat der Lösungsraum dieses Gleichungssystems?

4) Stellen Sie die Koeffizientenmatrix A des gegeben Gleichungssystems auf.

Durch diese Matrix ist die lineare Funktion fA(x) =Ax bestimmt, x?R^n, n entsprechend.

Ist diese Funktion Bijektiv?

5) Berechnen Sie die Dimension des Bildes dieser linearen Funktion aus Beispield (4), also dim(img fA))

6) Berechen Sie die Dimension des Kerns dieser linearen Funktion aus Beispield (4), also dim(ker(fA)).

a,b,c,d und e habe ich statt x Index 1-5 benutzt, leider weiß ich nicht wie man in diesem Forum einen Index setzt.

Aufgabe 1, 2 und 4 sind kein Problem.

Aber die Aufgaben 3, 5 und 6 kann ich nicht lösen? Kann mir jemand die Lösung erklären oder mir einen nützlichen Link geben?

Sorry wegen der komischen Formatierung.

Vielen Dank

Roman

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

prodomo aktiv_icon

08:10 Uhr, 29.01.2014

Leider hast du nicht angegeben, wie deine Lösung aussieht. Ich habe

\vec{x} = (\begin{matrix} 94 \\ 180 \\ 141 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

mit CAS bekommen, für das homogene System entsprechend nur

\vec{x} = t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 5 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

. Das wäre eine Hypergerade durch den Ursprung des

ℝ^{5}

. Also wäre die dim ker

= 1

. Entsprechend müsste dim img

= 4

sein.

romaen88 aktiv_icon

14:26 Uhr, 30.01.2014

Hi, danke für deine Antwort! und sorry für meine "Verspätung" (Internet Probleme).

Das Ergebnis für 1) lautet:

x=

(\begin{array}{rcl} 0 \\ - 8 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + μ (\begin{array}{rcl} - \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ (\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Ergebnis zu 2) lautet:

x=

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + μ (\begin{array}{rcl} - \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ (\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Ergebnis zu 4) lautet:

f_{A} (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 1 & - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 1 & - 2 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & - 4 & 7 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array})

Soweit ich weiß lautet die Antwort auf Frage 3:

Dim = 2

Aber warum?

Und wie berechnet man die Dimension des Bildes / Kerns?

Vielen Dank
Roman

prodomo aktiv_icon

16:28 Uhr, 30.01.2014

Klären wir erst einmal die Lösungen. Sind die geposteten Musterlösungen oder deine ? Wenn es Muster sind, kontrolliere die geposteten Gleichungen auf Tippfehler...
ich habe gerechnet

a - b + c - d + f = 52

a + b - 2 \cdot c + 4 \cdot d + f = 4

3 \cdot b - 4 \cdot c + 7 \cdot d - 2 \cdot f = - 3

d - f = 3

Bei meinem CAS ist

e

reserviert, daher

f

statt

e

romaen88 aktiv_icon

12:15 Uhr, 31.01.2014

Ich hätte wahrscheinlich von Anfang an so clever sein können und meinen Lösungsweg posten.

Gaußsches Eliminationsverfahren

1) x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + x_{5} = 5

2) 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} + 4 x_{4} + x_{5} = 4

3) 3 x_{2} - 4 x_{3} + 7 x_{4} - 2 x_{3} = - 3

4) x_{4} - x_{5} = 3

____________________________________

1) x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + x_{5} = 5

2) - 2 * 1) 3 x_{2} - 4 x_{3} + 6 x_{4} - x_{5} = - 6

3) 3 x_{2} - 4 x_{3} + 7 x_{4} - 2 x_{3} = - 3

4) x_{4} - x_{5} = 3

____________________________________

1) x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + x_{5} = 5

2) 3 x_{2} - 4 x_{3} + 6 x_{4} - x_{5} = - 6

3) - 2) x_{4} - x_{5} = 3

4) x_{4} - x_{5} = 3

____________________________________

x_{5} = μ

x_{4} - μ = 3

x_{4} = 3 + μ

x_{3} = λ

3 x_{2} - 4 x_{3} + 6 x_{4} - x_{5} = - 6

3 x_{2} - 4 λ + 18 + 6 μ - μ = - 6

x_{2} = - 8 - \frac{5}{3} μ + \frac{4}{3} λ

x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + x_{5} = 5

x_{1} = 0 - \frac{5}{3} μ + \frac{1}{3} λ

(\begin{array}{rcl} 0 \\ - 8 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + μ (\begin{array}{rcl} - \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + λ (\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Da ich für dieses Beispiel die volle Punktezahl bekommen habe ging ich davon aus, dass es richtig war.
Evtl hat sich der Prof. auch nur "vertan".

Nochmals Danke für deine Hilfe
Roman

prodomo aktiv_icon

13:39 Uhr, 31.01.2014

Ja, jetzt ist die Sache klar und es wird deutlich, wie wichtig die Beachtung der Regeln für die Formeldarstellung ist.
In deiner allerersten Frage hast du die beiden ersten Gleichungen nicht deutlich voneinander getrennt und nicht auf die Vorschau gesehen. Wie du sehen kannst, habe ich deshalb

= 52

und für die zweite Gleichung

a

...statt 5 und am Beginn der zweiten Zeile

2 \cdot a

...gelesen. Das ist sehr ärgerlich, zumal Nachlässigkeit dafür verantwortlich ist.

prodomo aktiv_icon

15:53 Uhr, 31.01.2014

Damit habe ich jetzt dieselbe Lösung. Das ist jetzt (homogen) eine Ursprungshyperebene 2. Ordnung, hat also

dim 2

. Dann müsste das Bild

dim 3

haben.

romaen88 aktiv_icon

13:37 Uhr, 01.02.2014

Erneut - Danke für deine Mühen.

Tut mir Leid, falls bei dir die Gleichungen nicht gut lesbar dargestellt wurde. Auch wenn nicht gut formatiert, sieht es bei mir dennoch lesbar aus (siehe Screenshot). Deshalb dachte ich nicht, dass der Fehler an der Angabe lag. Trotzdem - Verzeihung, in Zukunft werde ich genauer darauf achten.

Leider habe ich (da ich eine Mathe Niete bin) noch nicht verstanden warum das Ergebnis eine Ursprungshyperebene 2. Ordnung ist (also Dim. 2). Liegt es daran, dass es

μ

und

λ

gibt? Hätte ich im Ergebnis nur z.B.:

μ

wäre es 1. Ordnung und somit Dim.1? Oder hat es absolut nichts damit zu tun?

Und wie berechnet sich dim ker bzw. dim img?

Vielen Dank
Roman

prodomo aktiv_icon

16:55 Uhr, 02.02.2014

Vereinfacht gesagt, ja. Jeder Richtungsvektor (wenn du diesen Begriff noch kennst) zeigt in eine andere Richtung (vorausgesetzt, sie sind nichtlinear abhängig, aber dann wäre die Lösung anders gewesen) . Die zwei Richtungsvektoren hinter den

λ

und

μ

spannen also wie die Schenkel eines Winkels eine Ebene auf (ähnlich wie ein Fächer zwischen den drehbaren Begrenzugen).
Wenn dir Mathe nicht liegt, wie kommst du dann auf diese Frage ?

romaen88 aktiv_icon

19:35 Uhr, 02.02.2014

Nochmals danke für deine gut erklärte Antwort.

Da ich Informatik studiere "muss" ich mich auch mit Mathematik auseinandersetzen. :-)
Prinzipiell ist es auch kein Problem, aber leider ist meine Matura schon eine Weile her und meine Mathe Kenntnisse sehr eingerostet!

romaen88 aktiv_icon

13:21 Uhr, 04.02.2014

Könntest du mir vllt. noch erklären wie ich die Dimension des Bildes / Kerns berechne?

Vielen Dank
Roman

prodomo aktiv_icon

13:56 Uhr, 05.02.2014

Die Dimension ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Kern hatten wir schon geklärt, Bild kann etwas schwieriger werden, zumindest, wenn du nicht einfach mit Matrizen hantieren willst, sondern dir den Hintergrund plausibel machen willst.
Am Beginn hattest du 4 Gleichungen mit 5 Variablen. Das war schon mal eine Gleichung "zu wenig", um auf eine eindeutige Lösung zu kommen. Außerdem war ja nicht gesagt, ob nicht vielleicht eine Gleichung (oder sogar mehrere) sich aus den restlichen ergibt und somit überflüssig ist. Dies siehst du daran, dass du in der Matrix noch eine Nullzeile erzeugen kannst. Hier ist

z . B

. die Zeile 4 gleich dem Doppelten der ersten minus der zweiten plus der dritten. Die vierte ist also überflüssig. Alle Bildvektoren müssen demnach die Gestalt

{(b_{1}, b_{2}, b_{3}, 2 \cdot b_{1} - b_{2} + b_{3}, 0)}^{T}

haben. Das gibt

dim 3

romaen88 aktiv_icon

12:38 Uhr, 06.02.2014

Vielen vielen Dank für die Erklärung!
Geh ich richtig in der Annahme, dass die Dimension des Lösungsraum dieser Gleichungssysteme gleich der Dimension des Kerns ist?

Roman

prodomo aktiv_icon

13:34 Uhr, 09.02.2014

Der Kern ist die Lösungsmenge des homogenen Systems. Ansonsten gilt dim Kern

+ dim

Bild

= dim V (

hier also

5)

romaen88 aktiv_icon

11:37 Uhr, 10.02.2014

Perfekt, danke! jetzt versteh ich alles :-P)

Nochmals Danke für deine große Hilfe!

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