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Dimension eines Unterraums In Koordinatenform

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

anonymous

16:43 Uhr, 13.03.2017

Hallo,
ich bin unsicher bei der Lösung folgender Aufgabe:

Es sei

U = {x

Element

ℝ^{4} : x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0}

ein Unterraum.
Bestimmen sie die Dimension von U.

Wie man die Dimension berechnet war mir eigentlich ersichtlich aber aus den Aufgaben konnte ich direkt die Matrize bilden und damit die Dimension bestimmen. Muss ich hier 4 Punkte mit Hilfe der Koordinatenform bestimmen und diese in eine

4 x 4

Matrix schreiben oder wie ist meine Vorgehensweise?

Gruß

ledum aktiv_icon

22:21 Uhr, 13.03.2017

Hallo
man sollte sehen, dass das eine Hyperebene ist und damit Dimension 3
oder, es gibt nur eine Bedingung, an die

x_{i}

also wieder 3
oder du wählst

x 1, x 2, x 3

beliebig, dann gibt es immer ein passendes

x 4

wieder

3 d

Gruß ledum

anonymous

08:38 Uhr, 15.03.2017

Woran erkenne ich denn, dass das eine Hyperebene ist?

HilbertRaum aktiv_icon

13:06 Uhr, 15.03.2017

Durch scharfes hinsehen. Im Zweifel kannst du dich auch auf die Definition beziehen, die da lautet:

H = {x \in ℝ^{n}, a \in ℝ_{+}^{n} : a_{1} x_{1} + . . . + a_{n} x_{n} = b}

anonymous

20:44 Uhr, 16.03.2017

Wäre es nicht auch prinzipiell! möglich, 4 Punkte zu bestimmen die in der Ebene liegen (durch Einsetzen in die Koordinatenform), dann mit diesen 4 Punkten 3 linear unabhängige Richtungsvektoren zu bilden, diese 3 Richtungsvektoren in eine Matrix zu schreiben dann mit Gauß umformen und den Rang bestimmen der dann gleich der

dim (u)

ist?

ermanus aktiv_icon

21:00 Uhr, 16.03.2017

Wozu soll der Ansatz mit den vier Punkten nütze sein.
Die Koeffizientenmatrix ist doch

(1, - 1, 1, 1)

, hat also den Rang 1
und 4-1 ist nun mal 3.

Prinzipiell ist Deine Idee ja in Ordnung, nimm z.B. die
Vektoren

(1, 1, 0, 0)^{T}, (0, 1, 1, 0)^{T}, (0, 1, 0, 1)^{T}

, die bilden eine
Basis des Lösungsraumes. Ich frage mich halt nur, warum sollte man
Alles, was man in den Anfängen der linearen Algebra über die
Dimension der Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems
gelernt hat, nun plötzlich absichtlich vergessen?

anonymous

21:10 Uhr, 16.03.2017

Das ist ja klasse, ist mein Ansatz trotzdem korrekt?

ermanus aktiv_icon

21:12 Uhr, 16.03.2017

Ja, man kann das so machen. Ich habe eben meinen Beitrag noch
dahingehend vervollständigt.

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