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Dimension lineare Abbildung

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Tags: dimension, Linear Abbildung, Vektorraum

 
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ProblemMitMathe

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17:45 Uhr, 08.02.2016

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Ein K-VR der lineare Abbildung K3K2. Welche Dimension hat sie?

Als Lösungsmöglichkeiten sind 3,2,5 und 6 gegeben und man meint 6 wäre die richtige Antwort, wie kommt man darauf?

Also ich weiß, dass die Dimension von K3 gleich 3 ist und Dimension des Bildes kleiner gleich 2 aber wie kommt man da auf 6?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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18:13 Uhr, 08.02.2016

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Eine Abbildung hat zuerst mal gar keine Dimension.
Daher ist die Frage, was genau in der Aufgabe gefragt ist.

ProblemMitMathe

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18:16 Uhr, 08.02.2016

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Es ist eine Ankreuzungsaufgabe un deshlab sind die Fragen auch so kurz formuliert.

Es heißt einfach "Welche Dimension hat der K-Vektorraum der linearen Abbildung K3K2 "
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DrBoogie

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18:27 Uhr, 08.02.2016

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Das ist aber eine ganz andere Frage. Denn ein Raum hat natürlich eine Dimension.
In diesem Fall ist Dimension =6, eine natürliche Basis besteht aus den folgenden 6 Abbildungen:
fik(ej)=δjkvi, wo δjk Kroneker-Symbol ist und e1,e2,e3 bzw. v1,v2 Basen in entsprechenden Räumen.

Das kann man übrigens in jedem vernünftigen Buch über Lineare Algebra finden.
ProblemMitMathe

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18:49 Uhr, 08.02.2016

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Könntest du das etwas genauer erläutern? Ich verstehe dass diese Abbildungen jetzt von einen Basen zu den anderen Bilden sollte, aber wie darasu 6 Abbildungen werden.
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Christian-

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18:50 Uhr, 08.02.2016

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Bin auch an der Lösung interessiert, bitte elementare Infos geben und nicht an der oberfläche krantzen, falls es geht <3
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DrBoogie

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19:26 Uhr, 08.02.2016

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Ich habe es in dieser Form geschrieben, weil ich zu faul bin, alle Abbildungen einzeln zu schreiben. :-)

Wie sieht z.B. die Abbildung f12 aus? Nach der Formel haben wir f12(e1)=0, f12(e2)=v1 und f12(e3)=0. Für einen beliebigen Vektor x=x1e1+x2e2+x3e3 muss dann wegen Linearität heißen f12(x1e1+x2e2+x3e3)=x1f12(e1)+x2f12(e2)+x3f12(e3)=x2v1.
Und genauso für andere fij.

Dann muss man zeigen, dass diese Abbildungen den ganzen Raum erzeugen.
Das folgt daraus, dass für eine beliebige lineare Abbildung f:K3K2 gilt
f(x1e1+x2e2+x3e3)=x1f(e1)+x2f(e2)+x3f(e3) und wenn man f(ei) bzgl. der Basis v1,v2 darstellt: f(e1)=y11v1+y21v2, f(e2)=y12v1+y22v2, f(e3)=y13v1+y23v2,
dann folgt f(x1e1+x2e2+x3e3)=x1y11v1+x1y21v2+x2y12v1+x2y22v2+x3y13v1+x3y23v2=

=y11f11(x1e1+x2e2+x3e3)+y21f21(x1e1+x2e2+x3e3)+y12f12(x1e1+x2e2+x3e3)+

+y22f22(x1e1+x2e2+x3e3)+y13f13(x1e1+x2e2+x3e3)+y23f23(x1e1+x2e2+x3e3).

Und dann muss man zeigen, dass fij lin. unabhängig sind, aber dafür bin ich doch zu faul. :-) Das ist aber auch nur viel Schreiberei, nichts mehr. Und wie gesagt, diese Herleitung kann man leicht in einem Buch finden oder einem Skript.
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Christian-

Christian- aktiv_icon

19:46 Uhr, 08.02.2016

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Sehr verständlich nun, danke dir.

Das hört sich verdammt leicht und logisch an, wenn man es versteht.
ProblemMitMathe

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20:02 Uhr, 08.02.2016

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tut mir leid aber das ist mir zu unverständlich. Ich weiß immer noch nicht wofür die 2 und 1 in den f12 stehen soll oder zu welchen Raum die x gehören sollte oder was die y bedeuten soll.
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DrBoogie

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10:51 Uhr, 09.02.2016

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2 und 1 in f12 sind nur Indizes. Man kann auch f1;2 schreiben, z.B.
x=x1e1+x2e2+x3e3 ist ein Vektor aus K3, xi sie die Koeffizienten von x bzgl. der Basis e1,e2,e3, also Zahlen aus K. Wenn e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) und e3=(0,0,1) die Standardbasis ist, dann ist x=(x1,x2,x3).

yij sind Zahlen aus K. i und j sind wieder nur Indizes.
Frage beantwortet
ProblemMitMathe

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16:13 Uhr, 09.02.2016

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Alles klar Danke