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Dimension vom Kern = 0?

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

 
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lucidsleepy

lucidsleepy aktiv_icon

20:22 Uhr, 08.01.2019

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Hallo, ich habe bei einem Gaußsschen Eleminationsverfahren-Beispiel die Rang der Matrix 3 bekommen. Der Rang der erweiterten Matrix Ab ist ebenso drei. Die Dimension des Lösungsraums ist daher 3-3=0. Nun meine Frage: Da der Rang von A und Ab gleich ist, weiß ich dass ich eine Lösung bekomme. Aber die Dimension des Lösungsraum ist 0. Ich verstehe nicht, wie beides gleichzeitig in Kraft treten kann.
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e60lukas

e60lukas

20:46 Uhr, 08.01.2019

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Hallo,
wenn ich deine Ausführungen richtig verstehe, hast du keinen LösungsRAUM, sondern eine eindeutige Lösung.
Grüße
EL
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godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

00:41 Uhr, 09.01.2019

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Zunächst mal hast du:

" allgemeine Lösung = Sonderlösung des LGS + Kern (A) "     (1)


Und die Dimensionsformel lautet mit n= Anzahl Unbekannte


    dim Kern (A)=n- Rang (A)    (2)


Betrachten wir den Fall von n=3 Unbekannten. Wegen (1) ist die Lösung eindeutig ⇔ Kern (A)=0, und das bedeutet dim Kern (A)=0 in Übereinstimmung mit (2)

( Der Nullraum, der nur aus der Null besteht, ist der triviale, der " kleinste Vektorraum " ; und seine Dimension ist 0 .
Schau mal in wiki, wie der Begriff Basis definiert ist; und da wirst du 4 äquivalente Kriterien finden. Hausaufgabe - die lernst du auswändig.
Z.B. Kriterium 4:

" Eine Basis ist ein maximal linear Unabhängiges. "

Bereits das System, das nur die 0 enthält, ist schon linear abhängig ( warum? ) Also ist die dimension des Nullraumes gleich Null.
Alles korrekt, Dicker?
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