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Dimension von Haupträumen ähnlicher Matrizen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Ähnlichkeit, dimension, Eigenwert, Hauptraum, Matrizenrechnung

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johnmath

johnmath aktiv_icon

21:29 Uhr, 27.04.2017

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Hallo zusammen,
Zuerst ist für eine quadratische

n \times n

-Matrix

A

mit Einträgen aus

K

für einen Eigenwert

λ \in K

H_{k} (A, λ) := K e r ((λ E - A)^{k})

.

Die Aufgabenstellung lautet:
Sind

A

,

B

ähnliche Matrizen, so gilt

d i m H_{k} (A, λ) = d i m H_{k} (B, λ)

für alle

k \in ℕ

und Eigenwerte

λ \in K

.

Ich verstehe, warum diese Aussage gilt, habe aber keinen Zugang zur Dimension dieser Kerne, d.h. wie ich das in Eigenschaften von Vektoren "übersetze".

Ich weiß, dass die Dimension des Hauptraumes gleich dem algebraischen Vielfachen von

λ

ist, und dass die Dimension angibt, wie viel Elemente die Basis hat, d.h. wie viele linear unabhängige Vektoren es geben kann.
Momentan sehe ich keine Möglichkeit das in Verbindung mit der Ähnlichkeit zu bringen...
Ich habe das Gefühl, dass der Ansatz, nach dem ich suche direkt vor meinen Augen ist.

Viele Grüße
johnmath

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Strahlensatz und Ähnlichkeit

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

22:53 Uhr, 27.04.2017

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Schreib doch mal hin was es bedeutet, dass

A

und

B

ähnlich sind. Versuche dann sowas wie

λ E - B = λ S E S^{- 1} - S A S^{- 1} = S (λ E - A) S^{- 1}

zu verwenden und schaue was dann von

{(λ E - B)}^{k}

übrig bleibt.

johnmath

johnmath aktiv_icon

15:55 Uhr, 28.04.2017

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Hallo Shipwater,

das war auch mein erster Ansatz, aber komischerweise habe ich den schnell wieder verworfen. Also:

(λ E - B)^{k} = S^{k} (λ E - A)^{k} S^{- k}

Jetzt müsste man nur noch zeigen, dass die Multiplikation mit

S

und

S^{- k}

die Dimension der "Lösungsmenge" des LGS

(S^{k} (λ E - A)^{k} S^{- k}) x = 0

nicht verändert. Das ist ja auch logisch in meinen Augen, aber wie zeige ich das formal?
Man könnte

x ʹ := S^{- k} x

setzten und dann das LGS

S^{k} (λ E - A)^{k} x ʹ = 0

betrachten.
Jetzt könnte man noch sagen, dass für

x ʹ

mit

(λ E - A)^{k} x ʹ = 0

erst recht

(S^{k} (λ E - A)^{k}) x ʹ = 0

gilt.

Ist das so richtig?

(Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass man bei

(λ E - B)^{k} = S^{k} (λ E - A)^{k} S^{- k}

die Kommutativität verwendet. Ist das ok?)

Vielen Dank
johnmath

johnmath

johnmath aktiv_icon

16:11 Uhr, 28.04.2017

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Hallo Shipwater,

ich weiß jetzt was du gemeint hast:

(S (λ E - A) S^{- 1})^{k} = S (λ E - A)^{k} S^{- 1}

.

Viele Grüße
johnmath

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:35 Uhr, 28.04.2017

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Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Sonst wären "ähnliche Matrizen" auch etwas zu ähnlich ;-) Hat sich die Frage damit erledigt?

Frage beantwortet

johnmath

johnmath aktiv_icon

16:44 Uhr, 28.04.2017

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Mir ist gerade alles klar geworden!War die ganze Zeit mit der Nasenspitze an der Lösung ... So ist das halt manchmal :-D)

Vielen Dank nochmal!

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

17:23 Uhr, 28.04.2017

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Viel Erfolg weiterhin.

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