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Dimension von Kern & Bild einer linearen Abbildung

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Bild, dimension, Kern, Linear

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20:13 Uhr, 06.06.2017

1)

V=Abbild.((R,R). Zeigen Sie, dass Φ:

V \to V,

definiert durch Φ(f):

x \to f (x^{2}),

linear ist.

2)

Bestimmen Sie die Dimension von Kern(Φ) und von Bild(Φ)

3)

Gilt Kern(Φ) ⊕ Bild(Φ)

= V

4)

Zeigen Sie, dass

U = {f

∈

V |

für alle

x, y

∈

R

gilt: Aus xy

> 0

folgt

f (x) = f (y)}

ein UVR von

V

ist und bestimmen Sie die Dimension Φ(U).

Meine Ansätze:
zu

1) i)

(f + g) (x) = (f + g) (x^{2}) = f (x^{2}) + g (x^{2}) =

(f (x)) +

(g (x))

ii) Φ (λ⋅

f (x))

=λ⋅

f (x^{2})

=λ⋅ Φ

f (x)

bei

2)

weiß ich leider nicht weiter, weil ich mir gar nicht vorstellen kann, wie der Kern und das Bild von der Abbildung Φ auszusehen hat.. Dementsprechend weiß ich bei

3)

auch nicht weiter

zu

4) :

i) U

ist nicht leer, da für

f

∈

V

und

x, y

∈

R

folgt, dass für irgendein xy>0 gilt:

f (x) = 0 = f (y),

also ist die Nullabbildung in

U

enthalten
ii)

f, g

∈

U,

dann folgt für xy>0, dass auch

(f + g) (x) = (f + g) (x),

also

f (x) + g (x) = f (y) + g (y),

somit ist

f + g

∈

U

iii) λ ∈

R,

dann folgt für xy>0, dass auch λf(x)=λf(y), für λ beliebig, da auch bei negativen Zahlen Gleichheit gilt
bei der Frage nach der Dimension von Φ(U) bin ich leider ratlos..

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20:26 Uhr, 06.06.2017

K e r n (Φ) = {f : f (x^{2}) = 0 \forall x} = {f : f (x) = 0 \forall x \geq 0}

, also alle Funktion, die bei nichtnegativen

x

gleich

0

sind. Bei negativen

x

können sie beliebige Werte annehmen.

B i l d (Φ) = {g : \exists f

mit

g (x) = f (x^{2})}

. Das sind gerade Funktionen, denn einerseits ist klar, dass jede Funktion im

B i l d (Φ)

gerade ist:

g (- x) = f ((- x)^{2} = f (x^{2}) = g (x)

, und andererseits, wenn

g

eine beliebige gerade Funktion ist, so ist

g (x) = f (x^{2})

für die Funktion

f

, die so definiert ist:

f (x) = g (\sqrt{∣ x ∣})

.

Beide sind unendlichdimensional.

matheclown aktiv_icon

20:41 Uhr, 06.06.2017

Vielen Dank für deine Antwort schonmal! :-)

Folgt daraus, dann dass für

3)

Kern(Φ) ⊕ Bild(Φ) ungleich

V,

da es sich nur um positive Abbildungen handelt, und deshalb nicht alle Funktionen in Abbild.(R,R) dargestellt werden?

Kannst du mir vielleicht sagen, ob meine Ansätze für die

4)

schon richtig sind? oder ist da irgendein Axiom völliger Quatsch?

Wäre da dann Φ(U)=

{

f ∈

V |

für alle

x, y

∈

R

gilt: Aus xy

> 0

folgt

f (x) = f (y) \Leftrightarrow f (x^{2}) = f (y^{2})}

?
und somit die Dimension von Φ(U) auch wieder unendlich?

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21:08 Uhr, 06.06.2017

Jede Funkion

f

kann als Summe eine geraden Funktion und einer Funktion, die auf nichtnegativen Werten Null ist, dargestellt werden, und zwar so:

f (x) = f (∣ x ∣) + (f (x) - f (∣ x ∣))

.

Also ist es doch eine Summe, auch eine direkte, denn eine gerade Funktion kann nur dann auf nichtnegativen Werten Null sein, wenn sie komplett Null ist.

Bei 4) hast Du es vielleicht richtig gemeint, aufgeschrieben ist es ziemlich unsauber.

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21:10 Uhr, 06.06.2017

U

besteht aus Funktionen, welche auf negativen wie auf auf postiven Werten konstant sind. Somit ist

U

endlichdimensional und auch

Φ (U)

. Der letzte ist zweidimensional.

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21:19 Uhr, 06.06.2017

Okay, danke!
Also

3)

habe ich soweit verstanden, bei

4)

schaue ich dann gleich nochmal wie ich es schöner aufschreiben kann.
Dass

U

auf den positiven und negativen Werten konstant ist, habe ich jetzt verstanden. Aber woraus schließe ich, dass dim(Φ(U))=2 sein muss?

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21:28 Uhr, 06.06.2017

Eine Funktion

f

aus

U

hat nur höchstens drei Werte: einen in 0, einen für alle negative Werte und einen für positive Werte. Sagen wir, die Werte a,b,c.
Dann hat

Φ (f)

nur zwei Werte: a und c. a in 0, c in allen anderen Punkten.
Damit besteht eine Basis von

Φ (U)

aus

δ (x)

(

= 1

0

und

0

sonst) und Konstante 1.

matheclown aktiv_icon

21:35 Uhr, 06.06.2017

Dankeschön für deine Hilfe! Schönen Abend noch! :-)

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