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Dimensionen & Determinanten

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Helpneeder

15:24 Uhr, 10.02.2017

Hallo miteinander,

Ich soll die maximale Dimension eines Untervektorraums

U

von

ℝ^{n}

bestimmen, der die folgende Eigenschaft hat:

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{matrix}) \in U \ {0} \Rightarrow x_{j} \neq 0

für alle

j \in [0, n]

Ich bin nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe.
Ich denke mal, die maximale Dimension sollte trotzdem

n

sein, oder?

mihisu aktiv_icon

15:46 Uhr, 10.02.2017

"Ich denke mal, die maximale Dimension sollte trotzdem

n

sein, oder?"

Nein, wenn

{dim}_{ℝ} (U) = n

wäre, so müsste

U = ℝ^{n}

sein. Dann wäre jedoch beispielsweise der Vektor

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})

enthalten, was der geforderten Eigenschaft widersprechen würde.

\\\\

Seien

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})

und

y = (\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix})

zwei beliebige Vektoren

x, y \in U \ {0}

.

Zeige das

{x, y}

linear abhängig ist.

[

Betrachte dazu beispielsweise den Vektor

- y_{1} \cdot x + x_{1} \cdot y \in U .]

Jede linear unabhängige Teilmenge von

U

kann also nicht zwei (oder mehr) Elemente enthalten, sondern höchstens ein Element. Was bedeutet das nun für die Dimension von U?

\\\\

Edit: Falls es dir beim Verständnis hilft: Die geforderte Eigenschaft bedeutet: Wenn bei einem Vektor

x \in U

eine Komponente gleich 0 ist, so ist

x

schon der Nullvektor, also sind dann alle anderen Komponenten auch gleich 0.

Helpneeder

22:54 Uhr, 11.02.2017

"Jede linear unabhängige Teilmenge von

U

kann also nicht zwei (oder mehr) Elemente enthalten, sondern höchstens ein Element. Was bedeutet das nun für die Dimension von U?"

Nun ja, das würde ja dann heißen, dass die Dimension auch höchstens 1 ist, denn die Dimension ist doch die Größe der Basis... (Also die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren)... Oder habe ich da auch was falsch verstanden?

Ich verstehe allerdings nicht, warum es keine zwei linear unabhängigen Vektoren in

U

geben soll, nur weil außer dem 0-Vektor kein Vektor eine Null enthalten darf.

Das würde ja heißen, die Vektoren

x = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

und

y = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

sind linear abhängig?

Ich habe das Gefühl, ich habe da etwas grundlegend falsch verstanden.
Tut mir leid, wenn ich dumme Fragen stelle, beim Einstieg in die lineare Algebra war ich leider eine Weile zu unachtsam, denke ich.

mihisu aktiv_icon

23:12 Uhr, 11.02.2017

"Nun ja, das würde ja dann heißen, dass die Dimension auch höchstens 1 ist, denn die Dimension ist doch die Größe der Basis..."

Ja genau.

U

kann höchtens eindimensional sein.

\\\\

"Das würde ja heißen, die Vektoren

x = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

und

y = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

sind linear abhängig?"

Nein, das bedeutet es nicht. Denn diese Vektoren können nicht beide in so einem Untervektorraum

U

liegen. Denn wären beide in

U,

dann wäre auch

(\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}) = 2 \cdot x = (- 1) \cdot y

als Linearkombination von

x

und

y

ein Vektor, der wieder in

U

liegen muss. Das widerspricht jedoch der geforderten Eigenschaft von U. Denn

(\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

ist in

U \ {(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})},

aber es gibt eine Komponente, die gleich 0 ist.

Man erhält also einen Widerspruch. Die Annahme, dass

x = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

und

y = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

zugleich in solch einem Untervektorraum liegen könnten, ist also falsch.

Helpneeder

00:18 Uhr, 12.02.2017

Ahso, jetzt habe ich es geschnallt, danke!

Vielleicht magst du mir noch bei folgendem Problem weiterhelfen:

Die Determinante von

A_{n}

soll in Abhängigkeit von

n

bestimmt werden, wobei

A_{n} = [\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}] \in ℝ^{n \times n}

Also in der Diagonale alles 2 und links und rechts davon jeweils eine

1,

sonst nur 0en.

Ich habe mal mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz herumexperimentiert, aber ich komme immer wieder durcheinander.

Ich schätze mal, man kommt am Ende auf ein ähnliches Ergebnis wie

2^{n} - 2^{n - 1}

Was die

2^{n}

Komponente betrifft, bin ich mir sehr sicher.
Nur was davon noch abgezogen wird, ist mir noch nicht ganz klar.

\\\

Okay, vergiss die letzten Überlegungen!
Durch Ausprobieren der ersten paar

n

kommt man direkt auf

det (A_{n}) = n + 1

Diese Behauptung sollte sich dann durch Induktion beweisen lassen.

Induktionsanfang nehme ich jetzt mal als richtig an (habe ich ja durchprobiert)

Wie funktioniert dann der Induktionsschritt? Ich müsste doch zeigen, dass

det (A_{n + 1}) = n + 2

Hier meine Idee: Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz könnte man ja nach der "zusätzlichen" Zeile von

A_{n + 1}

entwickeln.
Also

det (A_{n + 1}) = 2 \cdot det (A_{n}) - n = 2 \cdot (n + 1) - n = n + 2

Soweit so gut. Jetzt ist mir nur noch schleierhaft, wie man bei diesem Schritt:

det (A_{n + 1}) = 2 \cdot det (A_{n}) - n

Auf das letzte "-n" kommt.

Simor aktiv_icon

00:43 Uhr, 12.02.2017

Wenn du mit Laplace die Matrix

A_{n + 1}

nach der ersten Zeile entwickelst bekommst du ja:

det (A_{n + 1}) = 2 \cdot det (A_{n}) - 1 \cdot det (B_{n}),

wobei

B_{n}

sehr ähnlich wie

A_{n}

aufgebaut ist (unterscheident sich nur in den ersten beiden Elementen der ersten Spalte):

B_{n} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 & 2 \end{matrix})

Das ganze kannst du durch entwickeln nach der ersten Spalte wieder auf deine Formel für

A_{n}

zurückführen und den Beweis dann mit (starker) Induktion führen.

mihisu aktiv_icon

00:55 Uhr, 12.02.2017

Genauso wie Simor es geschrieben hat.

Dann hat man:

det (A_{n + 1})

= 2 \cdot det (A_{n}) - 1 \cdot det (B_{n})

= 2 \cdot det (A_{n}) - 1 \cdot (1 \cdot det (A_{n - 1}))

= 2 \cdot det (A_{n}) - det (A_{n - 1})

= 2 \cdot (n + 1) - (n - 1 + 1)

= n + 2

Nicht vergessen, dass man bei dieser (starken) Induktion beim Anwenden der Induktionsvoraussetzung nicht nur

det (A_{n}) = n + 1,

sondern auch

det (A_{n - 1}) = n - 1 + 1 = n

verwendet. Daher muss man beim Induktionsanfang nicht nur den ersten Fall

n = 1

überprüfen, sondern auch den zweiten Fall für

n = 2

Helpneeder

14:18 Uhr, 12.02.2017

Okay, super! Ich denke, jetzt habe ich alles verstanden.
Vielen Dank!

Helpneeder

14:18 Uhr, 12.02.2017

Okay, super! Ich denke, jetzt habe ich alles verstanden.
Vielen Dank!

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