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Dimensionsanalyse

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Tags: dimension

Freak1ooo aktiv_icon

14:06 Uhr, 18.01.2016

In der Gleichung

x^{2} + a \cdot x + b = 0

habe die Unbekannte

x

die Dimension einer Länge.
Welche Dimensionen haben die Parameter a und b?
Ich soll die Gleichung durch Wahl einer intrinsischen Referenzlänge für

x

skalieren und die ersten 3 Terme in asymptotische Entwicklungen für beide Lösungen unter der Annahme, dass der Parameter

b

relativ (im Vergleich wozu?) klein ist, bestimmen.

Meine Idee:

Wenn

x

eine Länge ist, dann ist

x^{2}

eine Länge zum Quadrat (also Quadratmeter).
Damit die Einheiten zusammenpassen, muss a und

b

eine Länge zum Quadrat sein.

Aber wie geh ich dann weiter vor?!?

danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

14:43 Uhr, 18.01.2016

. .

. für jeden Summanden muss die Dimension gleich sein.

Somit ist a von der Dimension

L

n g e

und

b

von der Dimesion

L

n {g e}^{2}

für

b \neq 0

oder

a \neq 0

kann man die Gleichung durch

b^{2}

oder

a^{2}

teilen. Die Dimensionen verschwinden dann.

Wir erhalten:

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{a \cdot x}{b^{2}} + \frac{1}{b} = 0

bzw:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x}{a} + \frac{b}{a^{2}} = 0

;-)

Roman-22

15:26 Uhr, 18.01.2016

>

dass der Parameter

b

relativ (im Vergleich wozu?) klein ist
Gemeint ist wohl, dass

b < \frac{a^{2}}{4}

sein soll, damit die quadratische Gleichung zwei verschiedene, reelle Lösung besitzt.

R

Freak1ooo aktiv_icon

13:12 Uhr, 19.01.2016

Ok klingt logisch obwohl ich nicht durch b² sondern durch

b

dividieren müsste
Die Frage stellt sich mir wie ich da weiter machen muss.

lg

Freak1ooo aktiv_icon

13:27 Uhr, 19.01.2016

Ok wir haben einen Ansatz vom Professor bekommen den verstehe ich aber nicht
Er skaliert

x - \to \frac{a}{2} \cdot x

Dies folgt zur Gleichung

x^{2} + 2 x + 4 \frac{b}{a^{2}} = 0

Weiters kann mit der binomischen Reihe das Ergebnis leicht berechnet werden.

Verstehe die Skalierung aber nicht. Wer kann mir da bitte helfen?

ledum aktiv_icon

18:43 Uhr, 19.01.2016

Hallo

x

hat die Dimension einer Länge, a ursprünglich auch. jetzt kannst du

x

ersetzen durch die Zahl

x \cdot

einer Längeneinheit. da a eine Länge ist, zB

20

inch kann ich

x

in vielfachen von

10

inch angeben, im beispiel wäre dann x=10inch*x,

x

eine reine Zahl
die "Längeneinheit die du verwendest ist dabei erstmal egal, warum er gerade

\frac{a}{2}

wählt ist nicht ganz klar es wäre auch a oder

\frac{2}{3} a

oder

17 a

möglich gewesen. er will ne besonders einfache Gleichung kreieren deshalb das

\frac{a}{2}

am ende steht eine dimensionslose Gleichung für Zahlen

x

.
Gruß ledum

Freak1ooo aktiv_icon

22:09 Uhr, 19.01.2016

ok ist klar danke

Aber wie komme ich auf das

4 \cdot \frac{b}{a^{2}}

?

Ok es ist dimlos aber warum nehme ich nicht einfach

\frac{b}{a^{2}}

ledum aktiv_icon

01:28 Uhr, 20.01.2016

du ersetzes in deiner

G

leichung

x

durch

\frac{a}{2} \cdot x

also

x^{2}

durch

\frac{a^{2}}{4} \cdot x

usw,

b

beibt. dann dividierst du die Gl.

l

durch

\frac{a^{2}}{4}

Gruß ledum

anonymous

11:53 Uhr, 20.01.2016

"Wenn eine Länge ist, dann ist eine Länge zum Quadrat (also Quadratmeter).
Damit die Einheiten zusammenpassen, muss

[...] b

eine Länge zum Quadrat sein."
Korrekt!

"Wenn eine Länge ist, dann ist eine Länge zum Quadrat (also Quadratmeter).
Damit die Einheiten zusammenpassen, muss

a [...]

eine Länge zum Quadrat sein."
Falsch!
Der Summand

a \cdot x

muss doch die Dimension einer Länge im Quadrat haben.
Da

x

schon eine Länge ist, muss auch a die Dimension einer Länge haben.

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